Determine, sem fazer uso da Regra do L’hospital, caso existam, os limites indicados abaixo.
[0,5] \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^{x}, k \in \mathbb{R}^{+}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^{x}
onde k é um número real positivo ( k\in\mathbb{R}^{+}). Logo, queremos saber se esse limite existe para cada k>0 e, se existir, encontrar o seu valor. As informações relevantes dadas são:
\bullet a expressão cuja limite precisamos calcular é \left(1+\dfrac{k}{x}\right)^{x};\n
\bullet a variável que tende ao infinito é x;\n
\bullet o parâmetro k é fixo e positivo ( k>0).

Passo 2

Estratégia inicial (sem resolver ainda): é muito útil transformar potências em soma usando o logaritmo natural. Para isso, seja
y=\left(1+\frac{k}{x}\right)^{x}.
Tomando o logaritmo natural dos dois lados temos
\ln y = x\ln\!\left(1+\frac{k}{x}\right).
A vantagem é que, se conseguirmos calcular \lim_{x\to\infty}\ln y, podemos obter \lim_{x\to\infty} y usando a função exponencial, pois a exponencial é contínua (ou seja, \lim e^{u_n}=e^{\lim u_n} sempre que \lim u_n exista). Portanto o problema passa a ser calcular
\lim_{x\to\infty} x\ln\!\left(1+\frac{k}{x}\right).

Passo 3

Para tratar o termo \ln\!\left(1+\dfrac{k}{x}\right) usamos uma propriedade padrão, provada sem Regra de L’Hospital: para todo t>-1 vale
\frac{t}{1+t}\le \ln(1+t) \le t.
Explicando de forma didática: \ln(1+t)=\displaystyle\int_{0}^{t}\frac{1}{1+u}\,du. Se t>0, então para u\in[0,t] temos \dfrac{1}{1+u}\le 1 e também \dfrac{1}{1+u}\ge \dfrac{1}{1+t}. Integrando essas desigualdades em u de 0 a t obtemos as desigualdades acima. Dividindo por t>0 resulta
\frac{1}{1+t}\le \frac{\ln(1+t)}{t}\le 1.
Quando t\to 0^{+} ambos os lados da desigualdade tendem a 1, logo, por squeezed theorem,
\lim_{t\to 0^{+}}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.

Passo 4

Agora aplicamos o resultado do Passo 3 com t=\dfrac{k}{x}. Note que, quando x\to\infty, temos t=\dfrac{k}{x}\to 0^{+} porque k>0. Então
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{k}{x}\right)}{\dfrac{k}{x}}=1.
Multiplicando ambos os lados por k e reescrevendo, obtemos
\lim_{x\to\infty} x\ln\!\left(1+\frac{k}{x}\right) = \lim_{x\to\infty} k\cdot\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{k}{x}\right)}{\dfrac{k}{x}} = k\cdot 1 = k.
Portanto \lim_{x\to\infty}\ln y = k.

Passo 5

Voltando à variável original y, temos \ln y \to k quando x\to\infty. Aplicando a função exponencial (contínua) em ambos os lados do limite segue que
\lim_{x\to\infty} y = \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{k}{x}\right)^{x} = e^{\,\lim_{x\to\infty}\ln y} = e^{k}.
Isso mostra que o limite existe para qualquer k>0 e vale e^{k}.

Resposta

e^{k}

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