Determine, sem fazer uso da Regra do L’hospital, caso existam, os limites indicados abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o limite
onde
é um número real positivo (
). Logo, queremos saber se esse limite existe para cada
e, se existir, encontrar o seu valor. As informações relevantes dadas são:
a expressão cuja limite precisamos calcular é
;\n
a variável que tende ao infinito é
;\n
o parâmetro
é fixo e positivo (
).
Passo 2
Estratégia inicial (sem resolver ainda): é muito útil transformar potências em soma usando o logaritmo natural. Para isso, seja
Tomando o logaritmo natural dos dois lados temos
A vantagem é que, se conseguirmos calcular
, podemos obter
usando a função exponencial, pois a exponencial é contínua (ou seja,
sempre que
exista). Portanto o problema passa a ser calcular
Passo 3
Para tratar o termo
usamos uma propriedade padrão, provada sem Regra de L’Hospital: para todo
vale
Explicando de forma didática:
. Se
, então para
temos
e também
. Integrando essas desigualdades em
de
a
obtemos as desigualdades acima. Dividindo por
resulta
Quando
ambos os lados da desigualdade tendem a
, logo, por squeezed theorem,
Passo 4
Agora aplicamos o resultado do Passo 3 com
. Note que, quando
, temos
porque
. Então
Multiplicando ambos os lados por
e reescrevendo, obtemos
Portanto
.
Passo 5
Voltando à variável original
, temos
quando
. Aplicando a função exponencial (contínua) em ambos os lados do limite segue que
Isso mostra que o limite existe para qualquer
e vale
.