• Determine o FEA para uma célula CFC que tem preenchido todos seus intersticios.
Considere que os atomos nos intersticios octaedtricos teêm (R/r) = 0,414 e os atomos nos intersticios teraedricos (\mathrm{R} / \mathrm{r})=0,225.
Onde R é o raio do átomo intersticial e r é o raio do átomo da celular CFC ( matriz).

Passo 1

O enunciado dá uma célula CFC (cúbica de face centrada) cujo todos os interstícios estão preenchidos. Fornece as razões entre o raio do átomo intersticial e o raio do átomo da matriz:
  • interstício octaédrico: \dfrac{R_{\rm oct}}{r}=0,414;
  • interstício tetraédrico: \dfrac{R_{\rm tet}}{r}=0,225.
Onde:
  • r é o raio do átomo que forma a rede CFC (matriz);
  • R_{\rm oct} e R_{\rm tet} são, respectivamente, os raios dos átomos que ocupam completamente os interstícios octaédricos e tetraédricos, medidos como fração de r.
O que o problema pede:
  • Determinar o FEA: a fração do volume da célula unitária que fica ocupada por átomos quando todos os interstícios (octaédricos e tetraédricos) estão preenchidos. Em outras palavras,
\text{FEA}=\frac{\text{volume ocupado pelos átomos da matriz + átomos intersticiais}}{\text{volume da célula unitária}}.ááéá

Passo 2

Conhecimentos geométricos da CFC (explicação curta e necessária):
  • Uma célula CFC contém \;4\; átomos efetivos por cela (contando frações das posições de vértice e de face).
  • Os átomos da CFC tocam-se ao longo da diagonal da face. Isso dá a relação entre o parâmetro de rede a (aresta do cubo) e o raio atômico r:
4r = a\sqrt{2} \quad\Rightarrow\quad a = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\,r.
  • Volume da célula unitária:
V_{\rm cel} = a^3 = \bigl(2\sqrt{2}\,r\bigr)^3 = 16\sqrt{2}\,r^3.
Explicação rápida: elevou-se a ao cubo; (2\sqrt{2})^3 = 8\cdot(\sqrt{2})^3 = 8\cdot 2\sqrt{2}=16\sqrt{2}.

Passo 3

Volume ocupado pelos átomos da matriz (esferas de raio r):
  • Volume de uma esfera: \dfrac{4}{3}\pi r^3.
  • Como há 4 átomos por célula,
V_{\rm matriz} = 4\cdot\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{16}{3}\pi r^3.
(Muito útil lembrar: para CFC a fração de empacotamento só da rede é \dfrac{\pi}{3\sqrt{2}}\approx0,74048, que aqui sai de \dfrac{V_{\rm matriz}}{V_{\rm cel}}.)

Passo 4

Contagem dos interstícios na CFC (explicação):
  • Número de sítios octaédricos por célula unitária na CFC: \;4\;.
    (Há um no centro da cela e 12 nos centros das arestas; compartilhamentos levam a efetivamente 4.)
  • Número de sítios tetraédricos por célula unitária na CFC: \;8\;.
    (Posições bem definidas internamente; o total efetivo por cela é 8.)
    Logo, se todos os interstícios estiverem preenchidos teremos 4 átomos octaédricos e 8 átomos tetraédricos por célula.

Passo 5

Raio efetivo dos átomos intersticiais (peguei as razões fornecidas no enunciado):
R_{\rm oct} = 0,414\,r, \qquad R_{\rm tet} = 0,225\,r.
Volume total dos intersticiais:
  • Volume ocupado pelos 4 átomos octaédricos:
V_{\rm oct} = 4\cdot\frac{4}{3}\pi R_{\rm oct}^3 = 4\cdot\frac{4}{3}\pi (0,414\,r)^3 = \frac{16}{3}\pi \,(0,414)^3 r^3.
Calculemos o fator numérico passo a passo:
(0,414)^3 \approx 0,070957944,
\frac{16}{3}\cdot 0,070957944 \approx 0,378442368,
V_{\rm oct} \approx 0,378442368\pi\,r^3 \approx 1,188899\;r^3.
  • Volume ocupado pelos 8 átomos tetraédricos:
V_{\rm tet} = 8\cdot\frac{4}{3}\pi R_{\rm tet}^3 = 8\cdot\frac{4}{3}\pi (0,225\,r)^3 = \frac{32}{3}\pi \,(0,225)^3 r^3.
Cálculos:
(0,225)^3 = 0,011390625,
\frac{32}{3}\cdot 0,011390625 \approx 0,1215,
V_{\rm tet} \approx 0,1215\pi\,r^3 \approx 0,381681\;r^3.
  • Volume total dos intersticiais:
V_{\rm inter} = V_{\rm oct} + V_{\rm tet} \approx 1,188899\,r^3 + 0,381681\,r^3 = 1,570580\,r^3.
Observação: em todas as contas de volume foi usado o fato de que volumes de esferas variam com r^3, então é conveniente fatorar r^3.

Passo 6

Volume total ocupado (matriz + interstícios):
V_{\rm occ} = V_{\rm matriz} + V_{\rm inter} = \frac{16}{3}\pi r^3 + 1,570580\,r^3.
Calculemos numericamente:
\frac{16}{3}\pi r^3 \approx 16,7551608\,r^3,
V_{\rm occ} \approx 16,7551608\,r^3 + 1,570580\,r^3 = 18,3257408\,r^3.
Agora a FEA (fração do volume da cela ocupada):
\text{FEA} = \frac{V_{\rm occ}}{V_{\rm cel}} = \frac{18,3257408\,r^3}{16\sqrt{2}\,r^3} = \frac{18,3257408}{16\sqrt{2}}.
Como 16\sqrt{2}\approx 22,627417, obtemos
\text{FEA} \approx \frac{18,3257408}{22,627417} \approx 0,8099.
Convertendo para porcentagem:
\text{FEA} \approx 0,8099 \approx 80,99\%.
Comentário final curto: faz sentido o valor ser maior que o fator de empacotamento da CFC sem interstícios ( \approx0,74048), porque ao preencher os interstícios adiciona-se volume ocupado por esferas adicionais.

Resposta

\text{FEA} \approx 0,8099 \;(\approx 80,99\%)

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