- Determine o FEA para uma célula CFC que tem preenchido todos seus intersticios.
Considere que os atomos nos intersticios octaedtricos teêm (R/r) = 0,414 e os atomos nos intersticios teraedricos
.
Onde R é o raio do átomo intersticial e r é o raio do átomo da celular CFC ( matriz).
Passo 1
O enunciado dá uma célula CFC (cúbica de face centrada) cujo todos os interstícios estão preenchidos. Fornece as razões entre o raio do átomo intersticial e o raio do átomo da matriz:
- interstício octaédrico:
; - interstício tetraédrico:
.
Onde:
-
é o raio do átomo que forma a rede CFC (matriz); -
e são, respectivamente, os raios dos átomos que ocupam completamente os interstícios octaédricos e tetraédricos, medidos como fração de .
O que o problema pede:
- Determinar o FEA: a fração do volume da célula unitária que fica ocupada por átomos quando todos os interstícios (octaédricos e tetraédricos) estão preenchidos. Em outras palavras,
Passo 2
Conhecimentos geométricos da CFC (explicação curta e necessária):
- Uma célula CFC contém
átomos efetivos por cela (contando frações das posições de vértice e de face). - Os átomos da CFC tocam-se ao longo da diagonal da face. Isso dá a relação entre o parâmetro de rede
(aresta do cubo) e o raio atômico :
- Volume da célula unitária:
Explicação rápida: elevou-se
ao cubo;
.
Passo 3
Volume ocupado pelos átomos da matriz (esferas de raio
):
- Volume de uma esfera:
. - Como há
átomos por célula,
(Muito útil lembrar: para CFC a fração de empacotamento só da rede é
, que aqui sai de
.)
Passo 4
Contagem dos interstícios na CFC (explicação):
- Número de sítios octaédricos por célula unitária na CFC:
.
(Há um no centro da cela e 12 nos centros das arestas; compartilhamentos levam a efetivamente 4.) - Número de sítios tetraédricos por célula unitária na CFC:
.
(Posições bem definidas internamente; o total efetivo por cela é 8.)
Logo, se todos os interstícios estiverem preenchidos teremos 4 átomos octaédricos e 8 átomos tetraédricos por célula.
Passo 5
Raio efetivo dos átomos intersticiais (peguei as razões fornecidas no enunciado):
Volume total dos intersticiais:
- Volume ocupado pelos 4 átomos octaédricos:
Calculemos o fator numérico passo a passo:
- Volume ocupado pelos 8 átomos tetraédricos:
Cálculos:
- Volume total dos intersticiais:
Observação: em todas as contas de volume foi usado o fato de que volumes de esferas variam com
, então é conveniente fatorar
.
Passo 6
Volume total ocupado (matriz + interstícios):
Calculemos numericamente:
Agora a FEA (fração do volume da cela ocupada):
Como
, obtemos
Convertendo para porcentagem:
Comentário final curto: faz sentido o valor ser maior que o fator de empacotamento da CFC sem interstícios (
), porque ao preencher os interstícios adiciona-se volume ocupado por esferas adicionais.