Determine o fluxo do campo F através da superfície S, \iint_{S} F . \vec{n} d A :
F(x, y, z)=(-y, x, 0) e S é o quadrado no plano y z com vertices em (0,1,1),(0,-1,1),(0,1,-1),(0,-1,-1) orientado na direção positiva do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo
F(x,y,z)=(-y,x,0)
através da superfície S, que é o quadrado no plano x=0 com vértices em (0,\pm1,\pm1), orientado na direção positiva do eixo x. Vamos usar definição de fluxo em superfície plana:
\iint_{S}F\cdot\vec n\,dA.

Passo 2

Como S está no plano x=0 e a orientação é para o lado de x positivo, o vetor normal unitário é
\vec n=(1,0,0).

Passo 3

Sobre S temos x=0, logo
F(0,y,z)=(-y,0,0).
O produto escalar com \vec n vale
F\cdot\vec n =(-y,0,0)\cdot(1,0,0) = -y.

Passo 4

O elemento de área é dA=dydz e a região projetada no plano yz é o quadrado
-1\le y\le1,\quad -1\le z\le1.
Portanto o fluxo é
\iint_{S}F\cdot\vec n\,dA =\int_{z=-1}^{1}\int_{y=-1}^{1}(-y)\,dy\,dz.

Passo 5

Calculamos primeiro a integral em y:
\int_{y=-1}^{1}(-y)\,dy =-\Bigl[\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{-1}^{1} =-\bigl(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\bigr) =0.
Logo toda a integral dupla vale zero.

Resposta

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