Calcule a integral de superfície do campo F sobre a superfície dada:
F(x, y, z)=(x y, 0,-z) e S é o cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, 0 \leq z \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
F(x,y,z) = (\,x y,\;0,\;-z\,)
através da superfície lateral do cone
z = \sqrt{x^2 + y^2},\quad 0 \le z \le 1.
O assunto aqui é integral de superfície de um campo vetorial (fluxo) sobre a superfície dada por z = g(x,y).

Passo 2

Quando uma superfície S é dada por z = g(x,y) acima de uma região D no plano xy, com orientação para cima, o fluxo é
\iint_S F\cdot n\,dS \;=\; \iint_D F\bigl(x,y,g(x,y)\bigr)\;\cdot\;\bigl(-g_x,\,-g_y,\,1\bigr)\;dx\,dy.

Passo 3

No nosso caso g(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}. Calculamos as derivadas parciais:
g_x = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad g_y = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Passo 4

No cone, z = g(x,y)=r em coordenadas polares. Então
F\bigl(x,y,g(x,y)\bigr) = \bigl(xy,\;0,\;-r\bigr)
e o vetor \bigl(-g_x,-g_y,1\bigr) vale
\Bigl(-\tfrac{x}{r},\,-\tfrac{y}{r},\,1\Bigr).
O produto escalar é
F\cdot(-g_x,-g_y,1) = xy\Bigl(-\tfrac{x}{r}\Bigr) + 0\cdot\Bigl(-\tfrac{y}{r}\Bigr) + (-r)\cdot1 = -\frac{x^2y}{r}\;-\;r.

Passo 5

Para integrar em D\colon x^2+y^2\le1, note que
\iint_D \!-\frac{x^2y}{r}\,dx\,dy = 0
por ser função ímpar em y sobre o disco simétrico. Resta apenas
\iint_D (-r)\,dx\,dy.

Passo 6

Em coordenadas polares (r,\theta), temos dx\,dy = r\,dr\,d\theta e r=\sqrt{x^2+y^2}. Então
\iint_D (-r)\,dx\,dy = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} (-r)\,(r\,dr\,d\theta) = -\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} r^2\,dr\,d\theta.

Passo 7

Calculando a integral radial e angular:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi, \quad \int_{0}^{1} r^2\,dr = \frac{1}{3}.
Logo
-\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} r^2\,dr\,d\theta = -2\pi\cdot\frac{1}{3} = -\frac{2\pi}{3}.

Resposta

\iint_S F\cdot n\,dS \;=\; -\frac{2\pi}{3}.

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