Determine o fluxo do campo F através da superfície S, \iint_{S} F . \vec{n} d A :
F(x, y, z)=\left(\operatorname{sen} x, y^{2}+z^{2}, y^{2}\right) e S é o disco de raio \pi no plano x=\frac{3 \pi}{2} orientada na direção positiva do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
F(x,y,z) = (\sin x,\;y^2+z^2,\;y^2)
através da superfície S, que é o disco de raio \pi no plano x = \tfrac{3\pi}{2}, orientado positivamente segundo o eixo x. Para resolver, usamos a definição de fluxo
\iint_{S}F\cdot\mathbf{n}\,dA
onde \mathbf{n} é o versor normal unitário em S e dA é o elemento de área no disco.

Passo 2

Como S está no plano x=\tfrac{3\pi}{2} e a orientação é positiva em x, o vetor normal unitário é constante
\mathbf{n} = (1,0,0).

Passo 3

O produto escalar F\cdot\mathbf{n} para x=\tfrac{3\pi}{2} fica
F\bigl(\tfrac{3\pi}{2},y,z\bigr)\cdot(1,0,0) =\sin\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr) =-1.

Passo 4

O fluxo torna-se então
\iint_{S}F\cdot\mathbf{n}\,dA =\iint_{D}(-1)\,dA =-\iint_{D}dA,
onde D=\{(y,z)\mid y^2+z^2\le\pi^2\} é o disco de raio \pi no plano yz.

Passo 5

A área do disco D de raio \pi é
\iint_{D}dA = \pi\bigl(\pi\bigr)^2 = \pi^3.

Resposta

\iint_{S}F\cdot\mathbf{n}\,dA = -\pi^3.

Exercícios relacionados