Determine o fluxo do campo F através da superfície S, \iint_{S} F . \vec{n} d A :
F(x, y, z)=(x, 1,1) e a superfície S é dada pelo x=\operatorname{sen} y \operatorname{sen} z, 0 \leq y \leq \pi / 2,0 \leq z \leq \pi / 2, orientada na direção positiva do eixo z.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
F(x,y,z) = (x,\,1,\,1)
através da superfície S dada pelo gráfico
x = \sin y\,\sin z, \quad 0 \le y \le \tfrac\pi2, \quad 0 \le z \le \tfrac\pi2,
orientada na direção positiva do eixo z. Vamos usar parametrização de superfície e cálculo de normal via produto vetorial.

Passo 2

Escolhemos como parâmetros (y,z) no retângulo
D = [0,\tfrac{\pi}{2}] \times [0,\tfrac{\pi}{2}].
A parametrização é
r(y,z) = \bigl(\sin y \cdot \sin z,\; y,\; z\bigr).

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes:
r_y = \bigl(\cos y\,\sin z,\;1,\;0\bigr), \quad r_z = \bigl(\sin y\,\cos z,\;0,\;1\bigr).
O produto vetorial dá
r_y \times r_z = \bigl(1,\;-\,\cos y\,\sin z,\;-\,\sin y\,\cos z\bigr).

Passo 4

Como a componente z de r_y\times r_z é negativa, invertemos o sinal para ter n_z>0. Assim
n = -\bigl(r_y \times r_z\bigr) = \bigl(-1,\;\cos y\,\sin z,\;\sin y\,\cos z\bigr).

Passo 5

O campo restrito à superfície é
F\bigl(r(y,z)\bigr) = \bigl(\sin y\,\sin z,\;1,\;1\bigr).
Fazendo o produto escalar
F\cdot n = -\sin y\,\sin z + \cos y\,\sin z + \sin y\,\cos z.

Passo 6

O fluxo é
\iint_S F\cdot n\,dA = \int_{0}^{\frac\pi2}\!\!\int_{0}^{\frac\pi2} \bigl(-\sin y\,\sin z + \cos y\,\sin z + \sin y\,\cos z\bigr) \,dy\,dz.
Separando produtos:
-\Bigl(\int_0^{\frac\pi2}\sin y\,dy\Bigr)\Bigl(\int_0^{\frac\pi2}\sin z\,dz\Bigr) +\Bigl(\int_0^{\frac\pi2}\cos y\,dy\Bigr)\Bigl(\int_0^{\frac\pi2}\sin z\,dz\Bigr) +\Bigl(\int_0^{\frac\pi2}\sin y\,dy\Bigr)\Bigl(\int_0^{\frac\pi2}\cos z\,dz\Bigr).
Cada integral vale 1, então o resultado é
-1 + 1 + 1 = 1.

Resposta

O fluxo de F através de S é 1.

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