Determine o fluxo do campo F através da superfície S, \iint_{S} F . \vec{n} d A :
F(x, y, z)=\left(x, y, z^{2}+3\right) e S é o retângulo z=4,0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 3 orientado na direção positiva do eixo z.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo
F(x,y,z) = (x,\,y,\,z^2+3)
através da superfície plana S definida por z=4 no retângulo
0 \le x \le 2,\quad 0 \le y \le 3
orientada pela direção positiva do eixo z. O conteúdo aqui é integral de superfície (fluxo) de um campo vetorial.

Passo 2

Como S é o plano z=4 orientado para cima, o vetor normal unitário é
\vec{n} = (0,0,1).

Passo 3

No plano z=4, o campo vale
F(x,y,4) = \bigl(x,\,y,\,4^2+3\bigr) = (x,\,y,\,19).
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F\cdot\vec{n} = (x,\,y,\,19)\cdot(0,0,1) = 19.

Passo 4

O fluxo é
\iint_{S}F\cdot\vec{n}\,dA = \iint_{R}19\,dA = 19\cdot\text{área}(R)á
com R=\{(x,y)\mid 0\le x\le2,\;0\le y\le3\}. A área de R é
(2-0)\times(3-0)=6,
portanto o fluxo vale
19 \times 6 = 114.

Resposta

114

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