Determine o fluxo do campo F através da superfície S, \iint_{S} F . \vec{n} d A :
F(x, y, z)=\left(\mathrm{e} x y+3 z+5, \mathrm{e}^{x y}+5 z+3, \mathrm{e}^{x y}+3 z\right) e S é o quadrado de vertices (0,0,0),(0,2,0),(\sqrt{2}, 0, \sqrt{2}),(\sqrt{2}, 2, \sqrt{2}) e \vec{n}=\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{i}-\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{k}.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(e^{xy}+3z+5,\;e^{xy}+5z+3,\;e^{xy}+3z\bigr)
através da superfície plana S que é o paralelogramo de vértices (0,0,0), (0,2,0), (\sqrt2,0,\sqrt2), (\sqrt2,2,\sqrt2) e cuja normal unitária é
\mathbf{n}=\frac{\sqrt2}{2}\,\mathbf{i}-\frac{\sqrt2}{2}\,\mathbf{k}.
Para resolver, vamos (1) calcular \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} e (2) determinar a área de S.

Passo 2

Calculamos o produto escalar
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} =(e^{xy}+3z+5)\,\frac{\sqrt2}{2} +(e^{xy}+5z+3)\cdot0 +(e^{xy}+3z)\,\Bigl(-\frac{\sqrt2}{2}\Bigr).
Reagrupando,
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} =\frac{\sqrt2}{2}\Bigl[(e^{xy}+3z+5)-(e^{xy}+3z)\Bigr] =\frac{\sqrt2}{2}\cdot5 =\frac{5\sqrt2}{2}.
Ou seja, \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} é constante sobre S.

Passo 3

Para achar a área de S, note que ele é o paralelogramo gerado pelos vetores
\mathbf{a}=(\sqrt2,0,\sqrt2), \quad \mathbf{b}=(0,2,0).
A área é \|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\|. Calculando o produto vetorial,
\mathbf{a}\times\mathbf{b} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ \sqrt2&0&\sqrt2\\\\ 0&2&0 \end{vmatrix} =-2\sqrt2\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}+2\sqrt2\,\mathbf{k},
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\|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\| =\sqrt{(-2\sqrt2)^2+(2\sqrt2)^2} =\sqrt{8+8} =4.

Passo 4

Como \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=\tfrac{5\sqrt2}{2} é constante e \mathrm{Area}(S)=4, o fluxo é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dA =\frac{5\sqrt2}{2}\times4 =10\sqrt2.

Resposta

O fluxo de \mathbf{F} através de S é 10\sqrt2.

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