1. Determine a intensidade da força no pino A e no cabo B C necessária para sustentar a carga de 500 lb. Despreze o peso da haste A B. Respostas: F B C=1820,7 \mathrm{lb} ; F A=2060,9 \mathrm{lb}.

Passo 1

O enunciado pede duas grandezas: a intensidade da tensão no cabo B C e a intensidade da reação no pino A necessárias para manter a carga de 500\\ \text{lb} em equilíbrio, desprezando o peso da haste AB.
Informações fornecidas (retiradas do enunciado/imagem):
  • Carga vertical aplicada em B: \;500\\ \text{lb}.
  • Comprimento da haste AB: \;8\\ \text{pés}é.
  • A haste AB forma \;35^\circ com a horizontal em A.
  • O cabo BC forma \;22^\circ com a horizontal (o cabo puxa B para a esquerda e para baixo).
  • A haste AB está articulada em A (pino) e ligada em B ao cabo BC e à corda vertical que sustenta a carga.
    O que se pede:
  • Determinar a tensão em BC (denotada por T ou F_{BC}).
  • Determinar a intensidade da força de reação no pino A (denotada por F_A, magnitude do vetor reação).

Passo 2

Faça o diagrama de corpo livre da haste AB. Em B atuam:
  • A força vertical descendente da carga: \;(0,\,-500)\\ \text{lb}.
  • A tensão no cabo BC, de módulo \;T, dirigida para a esquerda e para baixo com ângulo \;22^\circ abaixo da horizontal. Em componentes horizontal e vertical:
F_{BC,x} = -T\cos22^\circ,\qquad F_{BC,y}=-T\sin22^\circ.
Em A atua a reação do pino, com componentes horizontais e verticais desconhecidas \;A_x e \;A_y. Vamos usar o sistema de eixos com +x para a direita e +y para cima.

Passo 3

Escreva as equações de equilíbrio da haste AB:
  • Soma das forças horizontais nulas:
\sum F_x: \; A_x + (-T\cos22^\circ) + 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad A_x = T\cos22^\circ.
  • Soma das forças verticais nulas:
\sum F_y: \; A_y + (-T\sin22^\circ) + (-500) = 0 \quad\Rightarrow\quad A_y = T\sin22^\circ + 500.
  • Soma dos momentos em torno de A nula (isso elimina A_x,A_y das equações). Para o cálculo do momento, precisamos das coordenadas de B em relação a A.

Passo 4

Calcule as coordenadas de B relativamente a A. A haste tem comprimento 8\\ \text{pés}é e faz \;35^\circ com a horizontal, então:
x_B = 8\cos35^\circ,\qquad y_B = 8\sin35^\circ.
Valores numéricos (mantendo várias casas para os cálculos):
x_B \approx 8\cdot 0{,}819152 = 6{,}553\\ \text{ft},\qquad y_B \approx 8\cdot 0{,}573576 = 4{,}589\\ \text{ft}.

Passo 5

Escreva a equação do momento em A. Usando a fórmula bidimensional M_A = x_B F_y - y_B F_x com as componentes totais em B:
as componentes em B são
F_x = -T\cos22^\circ,\qquad F_y = -T\sin22^\circ - 500.
Logo a soma dos momentos em A é
0=\sum M_A = x_B\big(-T\sin22^\circ - 500\big) - y_B\big(-T\cos22^\circ\big).
Organizando em torno de T:
0 = -x_B T\sin22^\circ -500 x_B + y_B T\cos22^\circ
\Rightarrow\quad T\big(-x_B\sin22^\circ + y_B\cos22^\circ\big) = 500\,x_B.
Portanto a tensão T no cabo BC é
\displaystyle T=\frac{500\,x_B}{-x_B\sin22^\circ + y_B\cos22^\circ }.

Passo 6

Substitua os valores numéricos para obter T.
Primeiro calcule os termos:
x_B\sin22^\circ \approx 6{,}553\cdot 0{,}374607 \approx 2{,}4540,
y_B\cos22^\circ \approx 4{,}589\cdot 0{,}927184 \approx 4{,}2550,
- x_B\sin22^\circ + y_B\cos22^\circ \approx 1{,}8010.
O numerador é
500\,x_B \approx 500\cdot 6{,}553 \approx 3{,}276{,}5.
Logo
T \approx \frac{3276{,}5}{1{,}8010} \approx 1820{,}7\\ \text{lb}.
Assim a tensão no cabo BC é aproximadamente \;F_{BC}=1820{,}7\\ \text{lb}.

Passo 7

Calcule as componentes da reação no pino A usando as equações de equilíbrio de forças:
A_x = T\cos22^\circ \approx 1820{,}7\cdot 0{,}927184 \approx 1687{,}9\\ \text{lb},
A_y = T\sin22^\circ + 500 \approx 1820{,}7\cdot 0{,}374607 + 500 \approx 1181{,}4\\ \text{lb}.

Passo 8

A intensidade (módulo) da reação no pino A é dada por
\displaystyle F_A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}.
Substituindo os valores:
F_A \approx \sqrt{(1687{,}9)^2 + (1181{,}4)^2}\approx 2060{,}9\\ \text{lb}.

Passo 9

Interpretação final: a maior parte da carga vertical é suportada pela combinação vertical do cabo BC mais a reação vertical em A; geometricamente, porque o cabo puxa para a esquerda e para baixo ele precisa ter tensão grande para equilibrar o momento causado pela carga aplicada em B.

Resposta

F_{BC}=1820{,}7\\ \text{lb}
F_{A}=2060{,}9\\ \text{lb}

Exercícios relacionados