1. Determine a força nos elementos \mathrm{CD}, \mathrm{CJ}, \mathrm{KJ}, e DJ da treliça, que é utilizada como apoio do piso de uma ponte. Indique se esses elementos estão sob tração ou compressão.

Passo 1

O enunciado pede: calcular as forças nos elementos CD,\;CJ,\;KJ e DJ da treliça e indicar se cada um está em tração ou compressão.
Peguei os dados geométricos e as cargas da imagem enviada. Informações úteis extraídas da imagem:
  • Cargas verticais no topo: 4000\\ \text{lb} em B, 8000\\ \text{lb} em C e 5000\\ \text{lb} em F. (peguei estes valores da imagem)
  • Distância entre juntas adjacentes (painéis): 9\\ \text{pés}é cada. (peguei este valor da imagem)
  • Altura entre a linha superior e a linha inferior da treliça: 12\\ \text{pés}é. (peguei este valor da imagem)
  • Apoios nos extremos em A (esquerda) e G (direita). (peguei isto da imagem)
  • Coordenadas horizontais dos nós (tomando A em x=0):
    • B: x=9, C: x=18, D: x=27, E: x=36, F: x=45, G: x=54.
  • Nós inferiores (sob os respectivos nós superiores, altura 12 ft abaixo): K sob C em x=18, J sob D em x=27, etc. (peguei isto da imagem)
Resumo do que vamos usar:
  • Reações verticais R_A e R_G nos apoios;
  • Método das seções cortando entre C e D (corte que intercepta os membros CD,\;CJ,\;KJ) para encontrar esses três membros;
  • Depois usar equilíbrio no nó J para obter DJ.

Passo 2

Calcular reações nos apoios (equilíbrio global vertical e momento).
Equilíbrios verticais e de momento para toda a treliça:
\sum F_y = 0:\quad R_A + R_G - (4000 + 8000 + 5000) = 0.
Tomando momentos em torno de A para achar R_G (positivo para giro CCW):
\sum M_A = 0:\quad R_G\cdot 54 - (4000\cdot 9 + 8000\cdot 18 + 5000\cdot 45)=0.
Calcule os termos:
4000\cdot9=36000,\quad 8000\cdot18=144000,\quad 5000\cdot45=225000,
\Rightarrow R_G=\dfrac{36000+144000+225000}{54}=\dfrac{405000}{54}=7500\\ \text{lb}.
Agora R_A:
R_A = 4000+8000+5000 - R_G = 17000 -7500 = 9500\\ \text{lb}.

Passo 3

Escolha do corte e configuração das incógnitas.
Vou fazer um corte vertical imediatamente à direita do nó C (entre C e D). Esse corte intercepta exatamente três membros de interesse (eixos das linhas): CD (topo, horizontal), CJ (diagonal entre C e J) e KJ (canto inferior, horizontal entre K e J). Esses três serão as incógnitas do problema nessa seção.
Defino sinais/convenções (sempre explico para não confundir):
  • Para o lado esquerdo do corte (a parte que vou analisar):
    • F_{CD} positivo significa força no membro CD dirigida para a direita (i.e., a seção direita “puxa” a parte esquerda para a direita).
    • F_{KJ} positivo significa força no fundo KJ dirigida para a direita (a seção direita “puxa” a parte esquerda para a direita).
    • F_{CJ} positivo significa força ao longo de CJ no sentido de C\to J (isto é, componente para a direita e para baixo). O membro CJ tem direção formada pelo vetor (9,-12) (diferença x: 27-18=9, diferença y: 0-12=-12), portanto comprimento \sqrt{9^2+12^2}=15. As projeções são:
      • componente horizontal: \dfrac{9}{15}=0{,}6,
      • componente vertical: \dfrac{-12}{15}=-0{,}8 (negativa porque apontaria para baixo se F_{CJ} positivo).
Do lado esquerdo do corte conhecemos as cargas e a reação:
  • R_A=9500\\ \text{lb} em x=0 (para cima),
  • carga 4000\\ \text{lb} em B no x=9 (para baixo),
  • carga 8000\\ \text{lb} em C no x=18 (para baixo).
Agora escrevo as equações de equilíbrio da parte esquerda da treliça.

Passo 4

Equações de equilíbrio da parte esquerda do corte e solução.
  1. Equilíbrio vertical ( \sum F_y=0):
R_A - 4000 - 8000 + (\text{componente vertical de }F_{CJ}) = 0.
A componente vertical de F_{CJ} (no sentido definido) é -0{,}8\,F_{CJ} (negativa = aponta para baixo quando F_{CJ}>0). Assim
9500 - 4000 - 8000 - 0{,}8\,F_{CJ} = 0.
Calculando:
9500 -12000 -0{,}8\,F_{CJ}=0 \quad\Rightarrow\quad -2500 -0{,}8\,F_{CJ}=0
\Rightarrow F_{CJ} = -\dfrac{2500}{0{,}8} = -3125\\ \text{lb}.
Interpretação imediata: o sinal negativo indica que a direção real da força é oposta à que assumi. Portanto o módulo é 3125\\ \text{lb} e a direção real é de J para C (ou seja, para cima e para a esquerda no nó C). Em termos de comportamento do membro: esse sentido (empurrando o nó C para cima/para a esquerda) indica que CJ está em compressão. Vou confirmar/usar isso depois.
  1. Equilíbrio de momentos em torno do nó C ( \sum M_C=0). Escolho o ponto C porque elimina as incógnitas F_{CD} e F_{CJ} (ambas passam por C), ficando apenas F_{KJ} como incógnita no equílíbrio de momentos. Momento positivo CCW.
    Contribuições:
  • R_A=9500 (em x=0): braço horizontal até C é 18\\ \text{ft}, força para cima → momento CCW: +9500\cdot 18.
  • carga em B de 4000\\ \text{lb} (em x=9): braço 9\\ \text{ft} à esquerda de C; força para baixo → momento CW: -4000\cdot 9.
  • carga em C passa no ponto de momento (braço zero) → sem contribuição.
  • F_{KJ} é uma força horizontal atuando na linha inferior ( y a 12\\ \text{ft} abaixo de C ); uma força horizontal na linha inferior produz um momento igual a F_{KJ}\cdot 12 (sinal depende do sentido). Um F_{KJ} positivo (para a direita) aplicado abaixo de C tende a girar no sentido horário (negativo). Assim o termo é -F_{KJ}\cdot 12.
Montando:
9500\cdot 18 - 4000\cdot 9 - 12\,F_{KJ} = 0.
Calculando:
171000 - 36000 -12\,F_{KJ}=0 \quad\Rightarrow\quad 135000 = 12\,F_{KJ}
\Rightarrow F_{KJ} = \dfrac{135000}{12} = 11250\\ \text{lb}.
Sinal positivo indica a direção assumida (para a direita sobre a seção esquerda) está correta. Em termos do membro KJ: como, no nó K (lado esquerdo), esse membro “puxa” para a direita (ou seja, o membro puxa os nós para dentro), isto corresponde a tração em KJ com 11250\\ \text{lb}.
  1. Equilíbrio horizontal ( \sum F_x=0):
    As forças horizontais conhecidas na parte esquerda são as componentes horizontais dos membros cortados:
F_{CD} + (\text{componente horizontal de }F_{CJ}) + F_{KJ} = 0.
A componente horizontal de F_{CJ} (com a convenção inicial) é 0{,}6\,F_{CJ}. Substituindo F_{CJ}=-3125 e F_{KJ}=11250:
F_{CD} + 0{,}6(-3125) + 11250 = 0.
Calcule:
0{,}6\cdot(-3125) = -1875,
F_{CD} -1875 +11250 = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{CD} +9375 =0
\Rightarrow F_{CD} = -9375\\ \text{lb}.
Sinal negativo significa que a direção real é oposta à que assumimos (assumi para a direita); portanto a força real no membro CD age para a esquerda na parte esquerda — isto corresponde a compressão no membro CD com módulo 9375\\ \text{lb}.
Resumo intermediário (módulos e sentidos relativos):
  • F_{CJ} = -3125\\ \text{lb} na convenção inicial \Rightarrow módulo 3125\\ \text{lb}, direção real J\to C (up-left) → compressão.
  • F_{KJ} = 11250\\ \text{lb} (para a direita na parte esquerda) → tração.
  • F_{CD} = -9375\\ \text{lb} na convenção inicial \Rightarrow módulo 9375\\ \text{lb}, sentido oposto ao assumido → compressão.

Passo 5

Encontrar DJ usando equilíbrio no nó J.
Agora isolamos o nó J (coord. x=27,\; y=0), onde atuam os seguintes membros (considerando forças na orientação representativa sobre o nó):
  • KJ: do lado direito do nó J o membro KJ exerce a força igual e oposta ao que encontramos na parte esquerda. Encontramos F_{KJ}=11250\\ \text{lb} para a parte esquerda como sendo para a direita; então, no nó J (lado direito), KJ exerce sobre J uma força para a esquerda de 11250\\ \text{lb}.
  • CJ: temos F_{CJ}=-3125\\ \text{lb} na convenção inicial (positiva C\to J). O sinal negativo indica que na realidade o membro age no sentido J\to C. Portanto, no nó J a força devido a CJ é no sentido J\to C, isto é, componente horizontal para a esquerda e componente vertical para cima. Componentes numéricas:
    • horizontal: 0{,}6\cdot 3125 = 1875\\ \text{lb} (para a esquerda),
    • vertical: 0{,}8\cdot 3125 = 2500\\ \text{lb} (para cima).
      (note que o sinal vertical é para cima porque o sentido real é J\rightarrow C)
  • DJ: força vertical desconhecida F_{DJ} (direção positiva tomada como para cima no nó J); DJ é vertical.
No nó J não há cargas externas verticais. Escrevendo equilíbrio vertical no nó J (soma das forças verticais = 0):
(\text{vertical de }CJ) + F_{DJ} = 0 \quad\Rightarrow\quad 2500 + F_{DJ} = 0.
Logo
F_{DJ} = -2500\\ \text{lb}.
O sinal negativo, com a convenção de F_{DJ} positivo para cima no nó J, significa que a força real no nó J é para baixo de 2500\\ \text{lb}. Interpretando para o membro: se no nó J o membro empurra para baixo, isso corresponde a tração ou compressão? Para um membro vertical dois-forças:
  • Se o membro estivesse em tração, no nó J ele puxaria para cima (tracionando J para cima). Aqui a força real em J é para baixo, o que corresponde ao membro empurrando para baixo no nó J, ou seja, compressão? Vamos verificar com consistência: a força no nó J de DJ é para baixo 2500\\ \text{lb}; isso significa que o membro empurra o nó J para baixo — o membro está comprimido (pois compressão empurra os nós para fora). Porém é fácil confundir; alternativamente, podemos determinar se o membro está em tração olhando a direção no nó D: se DJ for compressão ele empurra D para cima; se for tração ele puxa D para baixo. Para consistência com o resto do equilíbrio (p.ex., no nó D), veríamos que o signo corresponde a tração/ compressão. Vamos raciocinar de modo direto:
    • No nó J a força vertical resultante do membro DJ é para baixo 2500\\ \text{lb}. Isto significa que o membro exerce força para baixo no nó J. Assim no nó D (outra extremidade), o membro exerce força igual e oposta, ou seja, para cima 2500\\ \text{lb}. Isso significa que o membro está comprimido (porque comprime empurrando as extremidades para fora: empurra J para baixo e D para cima). Portanto DJ está em compressão com 2500\\ \text{lb}.
(Observação: outra forma de ver é assumir F_{DJ} positivo para cima no nó D; achando anteriormente F_{DJ} negativo nesse sentido corresponderia a compressão; o raciocínio acima é consistente.)

Passo 6

Resumo e classificação final — interpreto os sinais obtidos para dar a resposta final com módulos e se é tração ou compressão.
  • CD: |F_{CD}| = 9375\\ \text{lb}. Sinal encontrado negativo na convenção (força real aponta para a esquerda no nó C), portanto CD está em compressão.
  • CJ: |F_{CJ}| = 3125\\ \text{lb}. Sinal negativo na convenção inicial (força real é J\to C, ou seja, empurrando C para cima/para a esquerda), portanto CJ está em compressão.
  • KJ: |F_{KJ}| = 11250\\ \text{lb}. Sinal positivo na convenção (puxa a parte esquerda para a direita), portanto KJ está em tração.
  • DJ: |F_{DJ}| = 2500\\ \text{lb}. A análise do nó mostrou que DJ empurra o nó J para baixo (e o nó D para cima), ou seja, DJ está em compressão.

Resposta

F_{CD} = 9375\\ \text{lb} — compressão
F_{CJ} = 3125\\ \text{lb} — compressão
F_{KJ} = 11250\\ \text{lb} — tração
F_{DJ} = 2500\\ \text{lb} — compressão

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