- Determine a força nos elementos
, e DJ da treliça, que é utilizada como apoio do piso de uma ponte. Indique se esses elementos estão sob tração ou compressão.
Passo 1
O enunciado pede: calcular as forças nos elementos
e
da treliça e indicar se cada um está em tração ou compressão.
Peguei os dados geométricos e as cargas da imagem enviada. Informações úteis extraídas da imagem:
Peguei os dados geométricos e as cargas da imagem enviada. Informações úteis extraídas da imagem:
- Cargas verticais no topo:
em , em e em . (peguei estes valores da imagem) - Distância entre juntas adjacentes (painéis):
cada. (peguei este valor da imagem) - Altura entre a linha superior e a linha inferior da treliça:
. (peguei este valor da imagem) - Apoios nos extremos em
(esquerda) e (direita). (peguei isto da imagem) - Coordenadas horizontais dos nós (tomando
em ): -
, , , , , .
-
- Nós inferiores (sob os respectivos nós superiores, altura 12 ft abaixo):
sob em , sob em , etc. (peguei isto da imagem)
Resumo do que vamos usar:
- Reações verticais
e nos apoios; - Método das seções cortando entre
e (corte que intercepta os membros ) para encontrar esses três membros; - Depois usar equilíbrio no nó
para obter .
Passo 2
Calcular reações nos apoios (equilíbrio global vertical e momento).
Equilíbrios verticais e de momento para toda a treliça:
Tomando momentos em torno de
para achar
(positivo para giro CCW):
Calcule os termos:
Agora
:
Passo 3
Escolha do corte e configuração das incógnitas.
Vou fazer um corte vertical imediatamente à direita do nó
(entre
e
). Esse corte intercepta exatamente três membros de interesse (eixos das linhas):
(topo, horizontal),
(diagonal entre
e
) e
(canto inferior, horizontal entre
e
). Esses três serão as incógnitas do problema nessa seção.
Defino sinais/convenções (sempre explico para não confundir):
- Para o lado esquerdo do corte (a parte que vou analisar):
-
positivo significa força no membro dirigida para a direita (i.e., a seção direita “puxa” a parte esquerda para a direita). -
positivo significa força no fundo dirigida para a direita (a seção direita “puxa” a parte esquerda para a direita). -
positivo significa força ao longo de no sentido de (isto é, componente para a direita e para baixo). O membro tem direção formada pelo vetor (diferença : , diferença : ), portanto comprimento . As projeções são: - componente horizontal:
, - componente vertical:
(negativa porque apontaria para baixo se positivo).
- componente horizontal:
-
Do lado esquerdo do corte conhecemos as cargas e a reação:
-
em (para cima), - carga
em no (para baixo), - carga
em no (para baixo).
Agora escrevo as equações de equilíbrio da parte esquerda da treliça.
Passo 4
Equações de equilíbrio da parte esquerda do corte e solução.
- Equilíbrio vertical (
):
A componente vertical de
(no sentido definido) é
(negativa = aponta para baixo quando
). Assim
Calculando:
Interpretação imediata: o sinal negativo indica que a direção real da força é oposta à que assumi. Portanto o módulo é
e a direção real é de
para
(ou seja, para cima e para a esquerda no nó
). Em termos de comportamento do membro: esse sentido (empurrando o nó
para cima/para a esquerda) indica que
está em compressão. Vou confirmar/usar isso depois.
- Equilíbrio de momentos em torno do nó
( ). Escolho o ponto porque elimina as incógnitas e (ambas passam por ), ficando apenas como incógnita no equílíbrio de momentos. Momento positivo CCW.
Contribuições:
-
(em ): braço horizontal até é , força para cima → momento CCW: . - carga em
de (em ): braço à esquerda de ; força para baixo → momento CW: . - carga em
passa no ponto de momento (braço zero) → sem contribuição. -
é uma força horizontal atuando na linha inferior ( a abaixo de ); uma força horizontal na linha inferior produz um momento igual a (sinal depende do sentido). Um positivo (para a direita) aplicado abaixo de tende a girar no sentido horário (negativo). Assim o termo é .
Montando:
Calculando:
Sinal positivo indica a direção assumida (para a direita sobre a seção esquerda) está correta. Em termos do membro
: como, no nó
(lado esquerdo), esse membro “puxa” para a direita (ou seja, o membro puxa os nós para dentro), isto corresponde a tração em
com
.
- Equilíbrio horizontal (
):
As forças horizontais conhecidas na parte esquerda são as componentes horizontais dos membros cortados:
A componente horizontal de
(com a convenção inicial) é
. Substituindo
e
:
Calcule:
Sinal negativo significa que a direção real é oposta à que assumimos (assumi para a direita); portanto a força real no membro
age para a esquerda na parte esquerda — isto corresponde a compressão no membro
com módulo
.
Resumo intermediário (módulos e sentidos relativos):
-
na convenção inicial módulo , direção real (up-left) → compressão. -
(para a direita na parte esquerda) → tração. -
na convenção inicial módulo , sentido oposto ao assumido → compressão.
Passo 5
Encontrar
usando equilíbrio no nó
.
Agora isolamos o nó
(coord.
), onde atuam os seguintes membros (considerando forças na orientação representativa sobre o nó):
-
: do lado direito do nó o membro exerce a força igual e oposta ao que encontramos na parte esquerda. Encontramos para a parte esquerda como sendo para a direita; então, no nó (lado direito), exerce sobre uma força para a esquerda de . -
: temos na convenção inicial (positiva ). O sinal negativo indica que na realidade o membro age no sentido . Portanto, no nó a força devido a é no sentido , isto é, componente horizontal para a esquerda e componente vertical para cima. Componentes numéricas: - horizontal:
(para a esquerda), - vertical:
(para cima).
(note que o sinal vertical é para cima porque o sentido real é)
- horizontal:
-
: força vertical desconhecida (direção positiva tomada como para cima no nó ); é vertical.
No nó
não há cargas externas verticais. Escrevendo equilíbrio vertical no nó
(soma das forças verticais = 0):
Logo
O sinal negativo, com a convenção de
positivo para cima no nó
, significa que a força real no nó
é para baixo de
. Interpretando para o membro: se no nó
o membro empurra para baixo, isso corresponde a tração ou compressão? Para um membro vertical dois-forças:
- Se o membro estivesse em tração, no nó
ele puxaria para cima (tracionando J para cima). Aqui a força real em é para baixo, o que corresponde ao membro empurrando para baixo no nó , ou seja, compressão? Vamos verificar com consistência: a força no nó de é para baixo ; isso significa que o membro empurra o nó para baixo — o membro está comprimido (pois compressão empurra os nós para fora). Porém é fácil confundir; alternativamente, podemos determinar se o membro está em tração olhando a direção no nó : se DJ for compressão ele empurra D para cima; se for tração ele puxa D para baixo. Para consistência com o resto do equilíbrio (p.ex., no nó ), veríamos que o signo corresponde a tração/ compressão. Vamos raciocinar de modo direto: - No nó
a força vertical resultante do membro é para baixo . Isto significa que o membro exerce força para baixo no nó . Assim no nó (outra extremidade), o membro exerce força igual e oposta, ou seja, para cima . Isso significa que o membro está comprimido (porque comprime empurrando as extremidades para fora: empurra para baixo e para cima). Portanto está em compressão com .
- No nó
(Observação: outra forma de ver é assumir
positivo para cima no nó
; achando anteriormente
negativo nesse sentido corresponderia a compressão; o raciocínio acima é consistente.)
Passo 6
Resumo e classificação final — interpreto os sinais obtidos para dar a resposta final com módulos e se é tração ou compressão.
-
. Sinal encontrado negativo na convenção (força real aponta para a esquerda no nó ), portanto está em compressão. -
. Sinal negativo na convenção inicial (força real é , ou seja, empurrando para cima/para a esquerda), portanto está em compressão. -
. Sinal positivo na convenção (puxa a parte esquerda para a direita), portanto está em tração. -
. A análise do nó mostrou que empurra o nó para baixo (e o nó para cima), ou seja, está em compressão.