1 - Um dispositivo é usado para suportar uma carga. Se a força aplicada ao cabo for de 250 N , determine as tensões T_{1} e T_{2} em cada extremidade da corrente e, então, represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para o braço A B C.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão e o que o problema pede.
  • O enunciado dá a força aplicada ao cabo em A: \,250\\ \text{N} (para baixo).
  • A distância horizontal entre A e B (o braço) é \;300\\ \text{mm}.
  • Na extremidade próxima a B existe um conjunto de ligação que termina numa peça com duas extremidades da corrente: uma extremidade com tensão \,T_1 para cima e outra extremidade com tensão \,T_2 para baixo.
  • A figura mostra a distância vertical entre o ponto B e a extremidade inferior (onde atua \,T_2) igual a \;75\\ \text{mm}. (Mais dados geométricos do mecanismo na vizinhança de C não estão explicitados com clareza na figura que foi enviada.)
O que o problema pede:
  • Determinar as tensões \,T_1 e \,T_2 em cada extremidade da corrente.
  • Representar os diagramas de força cortante e momento fletor para o braço A B C (ou seja, ao longo do braço A B).
Observação importante: para determinar numericamente \,T_1 e \,T_2 é necessário conhecer as alavancas (os braços) do pequeno suporte / mandíbula em C — isto é, as distâncias do pivô desse elemento até as linhas de ação de \,T_1 e \,T_2 (ou outras medidas geométricas equivalentes). A figura fornecida não apresenta claramente essas distâncias (apenas mostra a separação vertical total 75\\ \text{mm} entre B e o ponto de aplicação de T_2). Sem essa informação geométrica adicional não é possível obter valores numéricos únicos para \,T_1 e \,T_2. A seguir explico o porquê e mostro como se resolveria o problema assim que esses comprimentos fossem fornecidos.

Passo 2

Modelo estático e equações de equilíbrio global (ideia principal).
  • Considere o conjunto inteiro (braço AB mais mecanismo em B e C) em equilíbrio estático vertical e rotacional. Fazendo equilíbrio das forças verticais sobre todo o conjunto:
\sum F_y = 0 \quad\Rightarrow\quad T_1 - T_2 - 250 = 0.
Essa é uma equação linear que relaciona T_1 e T_2:
\boxed{\,T_1 - T_2 = 250\,.}
  • Para incluir o efeito de momento causado pela carga aplicada em A (que cria um momento sobre o ponto B), devemos aplicar equilíbrio de momentos. O momento produzido pela carga na extremidade A em relação a B é
M_{B,\text{carga}} = 250 \times 300 = 75\,000\\ \text{N}\cdot\text{mm},
no sentido que tende a girar o conjunto em torno de B. Esse momento deve ser contrabalançado pelos efeitos produzidos por T_1 e T_2 no mecanismo em C. Para escrever a equação de momentos completa é necessário conhecer os braços (distâncias horizontais, ou as distâncias do pivô em C até as linhas de ação de \,T_1 e \,T_2).
  • Se chamarmos de a a distância do pivô do pequeno braço/mandíbula até a linha de ação de \,T_1 e de b a distância do mesmo pivô até a linha de ação de \,T_2 (essas distâncias estão no componente pequeno em C), então o equilíbrio do pequeno braço (momento no pivô do braço em C) fornece a relação
\boxed{\,T_1\,a = T_2\,b\,}
(isto é, nas condições mostradas na figura T_1 e T_2 atuam em lados opostos do pivô do pequeno braço, portanto o momento de um é balanceado pelo momento do outro).

Passo 3

Resolver o sistema geral em termos das alavancas a e b (procedimento didático que se usa na prova).
  • A partir de T_1 a = T_2 b obtemos
T_1 = T_2\frac{b}{a}.
  • Substituindo em T_1 - T_2 = 250 temos
T_2\frac{b}{a} - T_2 = 250 \quad\Rightarrow\quad T_2\left(\frac{b}{a}-1\right)=250.
  • Isolando T_2:
\boxed{\;T_2 = \dfrac{250\,a}{\,b-a\,}\; }\qquad\text{(quando \(b\ne a\)).}
  • E então
\boxed{\;T_1 = \dfrac{250\,b}{\,b-a\,}\; }.
Essas fórmulas são a solução geral do problema de equilíbrio do mecanismo em C: para valores numéricos de a e b (distâncias do pivô até as linhas de ação de \,T_1 e \,T_2) basta substituir e calcular T_1 e T_2.
Comentário didático: se alguém tentar usar somente as equações \sum F_y=0 e \sum M_B=0 para o conjunto inteiro, vai obter sempre duas equações que se reduzem a uma relação entre as mesmas incógnitas caso faltem informações geométricas do mecanismo em C. Por isso é necessário modelar o pequeno braço em C (ou seja, usar a equação T_1 a = T_2 b) — só assim os dois valores individuais de T_1 e T_2 ficam determinados.

Passo 4

Exemplo de como proceder se algum dado geométrico fosse dado: procedimento rápido na prova
  • Se o enunciado disser, por exemplo, que a distância do pivô até a linha de ação de T_1 é a=20\\ \text{mm} e até a linha de ação de T_2 é b=55\\ \text{mm}, então substitui-se na fórmula:
T_2 = \dfrac{250\cdot 20}{55-20}=\dfrac{5000}{35}=142{,}857\\ \text{N},
T_1 = T_2\frac{b}{a}=142{,}857\cdot\frac{55}{20}=392{,}857\\ \text{N}.
(isto é só um exemplo numérico ilustrativo — números inventados para mostrar o cálculo; o resultado depende de a e b reais do desenho.)

Passo 5

Diagramas de força cortante e momento para o braço A B (passo a passo e resultados).
  • Modelo: o braço AB é um braço horizontal com carga concentrada em A de 250\\ \text{N} para baixo e apoiado/ligado em B. Para efeitos dos diagramas internos, tome seções transversais ao longo de A B (coordenada x medida a partir de A em direção a B, com 0\le x\le 300\\ \text{mm}).
  • Força cortante interna V(x): como não há outras forças distribuídas nem forças verticais entre A e B, a força cortante é constante e igual ao negativo da carga aplicada em A:
\boxed{\;V(x) = -250\\ \text{N}\quad\text{para }0\le x\le 300\\ \text{mm}.\;}
(Convenção: negativo indica que a força cortante interna é oposta à carga aplicada, siga a convenção usual que estiver usando na prova.)
  • Momento fletor interno M(x): o momento em uma seção a uma distância x da extremidade A (com x medido para direita) é o momento produzido pela força de 250\\ \text{N} a uma alavanca x:
\boxed{\;M(x) = -250\,x\\ \text{(N}\cdot\text{mm})\quad\text{para }0\le x\le 300\\ \text{mm}.\;}
(De novo, o sinal negativo indica o sentido do momento; na extremidade livre A temos M(0)=0 e no suporte B temos o momento máximo.)
  • Valor do momento no ponto B (extremo próximo do suporte):
\boxed{\;M_B = M(300) = -250\times 300 = -75\,000\\ \text{N}\cdot\text{mm}.\;}
  • Interpretação gráfica rápida (para desenhar no caderno/folha de prova):
    • Diagrama de força cortante: uma linha horizontal constante em -250\\ \text{N} entre A e B.
    • Diagrama de momento: uma linha reta (variação linear) começando em 0 em A e decrescendo linearmente até -75\,000\\ \text{N}\cdot\text{mm} em B.

Resposta

\;T_2 = \dfrac{250\,a}{\,b-a\,}
\;T_1 = \dfrac{250\,b}{\,b-a\,}
\;V(x) = -250\\ \text{N}\quad\text{para }0\le x\le 300\\ \text{mm}
\;M(x) = -250\,x\\ \text{N}\cdot\text{mm}\quad\text{para }0\le x\le 300\\ \text{mm}
\;M_B = -75\,000\\ \text{N}\cdot\text{mm}

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