- Se a força máxima que qualquer elemento pode sustentar é 8 kN e 6 kN de compressão, determine a força máxima P que pode ser suportada no nó D . Utilize o método dos nós.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a maior força
aplicada para baixo no nó
que a treliça consegue suportar, sabendo que cada barra suporta no máximo
em tração e
em compressão. Deve-se usar o método dos nós.
Informações extraídas da figura (peguei estes dados da imagem):
- A treliça tem dois vãos iguais; os pontos
– – são colineares no cordão inferior. - O comprimento do cordão inferior entre
e é e entre e é . - A barra superior entre
e tem comprimento . - As barras inclinadas fazem ângulo de
com a horizontal nas bases (marcado em e em ). - Forças máximas dos elementos: tração máxima
e compressão máxima . - Há uma carga
vertical para baixo aplicada no nó .
O que se pede:
- Determinar
tal que nenhuma barra ultrapasse seu limite de tração/ compressão.
Passo 2
Breve explicação do método dos nós (aula rápida e prática):
- Cada junta (nó) da treliça está em equilíbrio estático: a soma das forças horizontais e a soma das forças verticais em cada nó são nulas.
- Cada barra é um “two-force member”: a força da barra atua ao longo de sua linha, com sentido de tração (puxando o nó) ou compressão (empurrando o nó).
- Para barras inclinadas usamos as componentes:
e . - Convenção prática: vamos determinar a direção (tração/compressão) ao final de cada equação; se o valor obtido for positivo, aceitaremos a indicação de tração conforme assumido, se negativo muda-se o sinal (compressão).
Vou começar pelo nó onde a carga é aplicada (
), porque aí já aparecem poucas barras desconhecidas e as equações são simples.
Passo 3
Equilíbrio no nó
(peguei o ângulo de
entre a barra inclinada
e o cordão inferior
da imagem).
Forças no nó
: carga
para baixo, a barra inclinada
(força
) e o cordão inferior
(força
). Escrevendo equilíbrio vertical e horizontal:
Equilíbrio vertical:
(o sinal negativo indica que, se
for tração atuará para cima/baixo conforme escolha; aqui reescrevemos para obter magnitude)
Logo:
Substituindo
:
Equilíbrio horizontal no nó
:
a componente horizontal de é
(para a esquerda se
está em tração), e essa componente é equilibrada pelo esforço axial em
. Assim, a magnitude de
é
a componente horizontal de
Interpretação dos sinais (do desenho):
é tração (tem componente vertical que sustenta
) e
fica em compressão (puxa/pusha o nó para equilibrar a componente horizontal).
Resumo do nó
:
-
(tração) -
(compressão)
Passo 4
Equilíbrio no nó
(não há carga externa neste nó). As barras ligadas:
,
e
. Usando os resultados de
:
Equilíbrio vertical em
:
as componentes verticais das forças em e
devem se anular, portanto
as componentes verticais das forças em
Ou seja,
tem sentido oposto a
. Como
é tração,
será compressão com a mesma magnitude:
Equilíbrio horizontal em
:
Portanto:
-
(compressão, magnitude ) -
(tração)
Passo 5
Equilíbrio no nó
(sem carga externa). Barras ligadas:
,
,
. Pelo simetria/semelhança com o nó
(espelhado), encontra-se que:
-
(tração) -
(compressão, magnitude )
(isto pode ser obtido pelas equações de equilíbrio horizontal e vertical no nó
, idênticas às do nó
espelhado).
Passo 6
Equilíbrio no nó
(aqui há também o apoio vertical representado na figura — mas vamos usar o equilíbrio do nó para obter a força axial em
). Barras ligadas:
,
,
,
e há reação de apoio vertical; entretanto, para encontrar
usaremos as componentes horizontais que devem se equilibrar.
Componentes horizontais (todas relativas ao nó
):
-
(tração ) tem componente horizontal para a esquerda: . -
(compressão de magnitude ) empurra o nó para a esquerda (porque está inclinada para a direita) com componente horizontal . -
(compressão de magnitude ) empurra o nó para a esquerda com componente horizontal .
Somando, as contribuições horizontais para a esquerda são:
Para equilibrar essas forças, a barra
deve aplicar uma força horizontal para a direita de mesma magnitude; isso significa que
está em compressão (empurrando
para a direita) com magnitude
Nota: a soma vertical das componentes inclinadas de
e
se anula, de modo que a reação vertical do apoio em
é zero — não precisamos do valor da reação para achar
.
Passo 7
Resumindo todas as forças internas, com indicação de tração (+) ou compressão (−), todas em função de
:
Passo 8
Aplicar os limites de resistência: tração máxima
, compressão máxima
. Cada membro impõe uma desigualdade para
. Calculamos cada restrição:
- Para
(tração): . - Para
e (tração, mesmas magnitudes): mesma desigualdade . - Para
e (compressão): . - Para
(compressão): (não crítica). - Para
(compressão): .
Agora escolhemos a menor dessas limitações (a mais restritiva), que determina
. Os valores numéricos:
A menor é
.
Passo 9
Conclusão interpretativa (resumo didático e motivador):
- A barra que atinge sua resistência primeiro é
(compressão), quando . - Portanto a carga máxima que pode ser colocada em
sem violar os limites das barras é .