1. Se a força máxima que qualquer elemento pode sustentar é 8 kN e 6 kN de compressão, determine a força máxima P que pode ser suportada no nó D . Utilize o método dos nós.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a maior força P aplicada para baixo no nó D que a treliça consegue suportar, sabendo que cada barra suporta no máximo 8\\ \text{kN} em tração e 6\\ \text{kN} em compressão. Deve-se usar o método dos nós.
Informações extraídas da figura (peguei estes dados da imagem):
  • A treliça tem dois vãos iguais; os pontos A E D são colineares no cordão inferior.
  • O comprimento do cordão inferior entre A e E é 4\\ \text{m} e entre E e D é 4\\ \text{m}.
  • A barra superior entre B e C tem comprimento 4\\ \text{m}.
  • As barras inclinadas fazem ângulo de 60^\circ com a horizontal nas bases (marcado em A e em D).
  • Forças máximas dos elementos: tração máxima \,8\\ \text{kN}\, e compressão máxima \,6\\ \text{kN}\,.
  • Há uma carga P vertical para baixo aplicada no nó D.
O que se pede:
  • Determinar P_{\max} tal que nenhuma barra ultrapasse seu limite de tração/ compressão.

Passo 2

Breve explicação do método dos nós (aula rápida e prática):
  • Cada junta (nó) da treliça está em equilíbrio estático: a soma das forças horizontais e a soma das forças verticais em cada nó são nulas.
  • Cada barra é um “two-force member”: a força da barra atua ao longo de sua linha, com sentido de tração (puxando o nó) ou compressão (empurrando o nó).
  • Para barras inclinadas usamos as componentes: \cos 60^\circ = \tfrac{1}{2} e \sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Convenção prática: vamos determinar a direção (tração/compressão) ao final de cada equação; se o valor obtido for positivo, aceitaremos a indicação de tração conforme assumido, se negativo muda-se o sinal (compressão).
Vou começar pelo nó onde a carga é aplicada ( D), porque aí já aparecem poucas barras desconhecidas e as equações são simples.

Passo 3

Equilíbrio no nó D (peguei o ângulo de 60^\circ entre a barra inclinada CD e o cordão inferior ED da imagem).
Forças no nó D: carga P para baixo, a barra inclinada CD (força \,F_{CD}\,) e o cordão inferior ED (força \,F_{ED}\,). Escrevendo equilíbrio vertical e horizontal:
Equilíbrio vertical:
-F_{CD}\sin 60^\circ - P = 0
(o sinal negativo indica que, se F_{CD} for tração atuará para cima/baixo conforme escolha; aqui reescrevemos para obter magnitude)
Logo:
F_{CD}\sin 60^\circ = P.
Substituindo \sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}:
F_{CD} = \frac{P}{\sin 60^\circ} = \frac{P}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2P}{\sqrt{3}}.
Equilíbrio horizontal no nó D:
a componente horizontal de F_{CD} é F_{CD}\cos 60^\circ (para a esquerda se CD está em tração), e essa componente é equilibrada pelo esforço axial em ED. Assim, a magnitude de F_{ED} é
F_{ED} = F_{CD}\cos 60^\circ = \frac{2P}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2}=\frac{P}{\sqrt{3}}.
Interpretação dos sinais (do desenho): F_{CD} é tração (tem componente vertical que sustenta P) e F_{ED} fica em compressão (puxa/pusha o nó para equilibrar a componente horizontal).
Resumo do nó D:
  • F_{CD} = \dfrac{2P}{\sqrt{3}} (tração)
  • F_{ED} = \dfrac{P}{\sqrt{3}} (compressão)

Passo 4

Equilíbrio no nó C (não há carga externa neste nó). As barras ligadas: CD, CE e BC. Usando os resultados de CD:
Equilíbrio vertical em C:
as componentes verticais das forças em CD e CE devem se anular, portanto
F_{CD}\sin 60^\circ + F_{CE}\sin 60^\circ = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{CE} = -F_{CD}.
Ou seja, F_{CE} tem sentido oposto a F_{CD}. Como F_{CD} é tração, F_{CE} será compressão com a mesma magnitude:
F_{CE} = -\frac{2P}{\sqrt{3}}\quad(\text{compressão, magnitude }\frac{2P}{\sqrt{3}}).ã
Equilíbrio horizontal em C:
F_{BC} = 2 \,F_{CD}\cos 60^\circ = 2\cdot\frac{2P}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2} = \frac{2P}{\sqrt{3}}.
Portanto:
  • F_{CE} = -\dfrac{2P}{\sqrt{3}} (compressão, magnitude \dfrac{2P}{\sqrt{3}})
  • F_{BC} = \dfrac{2P}{\sqrt{3}} (tração)

Passo 5

Equilíbrio no nó B (sem carga externa). Barras ligadas: AB, BE, BC. Pelo simetria/semelhança com o nó C (espelhado), encontra-se que:
  • F_{BE} = \dfrac{2P}{\sqrt{3}} (tração)
  • F_{AB} = -\dfrac{2P}{\sqrt{3}} (compressão, magnitude \dfrac{2P}{\sqrt{3}})
(isto pode ser obtido pelas equações de equilíbrio horizontal e vertical no nó B, idênticas às do nó C espelhado).

Passo 6

Equilíbrio no nó E (aqui há também o apoio vertical representado na figura — mas vamos usar o equilíbrio do nó para obter a força axial em AE). Barras ligadas: BE, CE, AE, ED e há reação de apoio vertical; entretanto, para encontrar F_{AE} usaremos as componentes horizontais que devem se equilibrar.
Componentes horizontais (todas relativas ao nó E):
  • BE (tração \dfrac{2P}{\sqrt{3}}) tem componente horizontal para a esquerda: \dfrac{2P}{\sqrt{3}}\cos 60^\circ = \dfrac{P}{\sqrt{3}}.
  • CE (compressão de magnitude \dfrac{2P}{\sqrt{3}}) empurra o nó E para a esquerda (porque CE está inclinada para a direita) com componente horizontal \dfrac{P}{\sqrt{3}}.
  • ED (compressão de magnitude \dfrac{P}{\sqrt{3}}) empurra o nó E para a esquerda com componente horizontal \dfrac{P}{\sqrt{3}}.
Somando, as contribuições horizontais para a esquerda são:
\frac{P}{\sqrt{3}}+\frac{P}{\sqrt{3}}+\frac{P}{\sqrt{3}} = \frac{3P}{\sqrt{3}} = P\sqrt{3}.
Para equilibrar essas forças, a barra AE deve aplicar uma força horizontal para a direita de mesma magnitude; isso significa que AE está em compressão (empurrando E para a direita) com magnitude
F_{AE} = P\sqrt{3}.
Nota: a soma vertical das componentes inclinadas de BE e CE se anula, de modo que a reação vertical do apoio em E é zero — não precisamos do valor da reação para achar F_{AE}.

Passo 7

Resumindo todas as forças internas, com indicação de tração (+) ou compressão (−), todas em função de P:
\begin{aligned} F_{CD} &= +\dfrac{2P}{\sqrt{3}}\quad(\text{tração})\\[4pt] F_{ED} &= -\dfrac{P}{\sqrt{3}}\quad(\text{compressão, magnitude }\dfrac{P}{\sqrt{3}})\\[4pt] F_{BC} &= +\dfrac{2P}{\sqrt{3}}\quad(\text{tração})\\[4pt] F_{CE} &= -\dfrac{2P}{\sqrt{3}}\quad(\text{compressão, magnitude }\dfrac{2P}{\sqrt{3}})\\[4pt] F_{BE} &= +\dfrac{2P}{\sqrt{3}}\quad(\text{tração})\\[4pt] F_{AB} &= -\dfrac{2P}{\sqrt{3}}\quad(\text{compressão, magnitude }\dfrac{2P}{\sqrt{3}})\\[4pt] F_{AE} &= -P\sqrt{3}\quad(\text{compressão, magnitude }P\sqrt{3}). \end{aligned}çããçããçããã]

Passo 8

Aplicar os limites de resistência: tração máxima 8\\ \text{kN}, compressão máxima 6\\ \text{kN}. Cada membro impõe uma desigualdade para P. Calculamos cada restrição:
  • Para F_{CD} (tração): \dfrac{2P}{\sqrt{3}}\le 8 \Rightarrow P\le \dfrac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}.
  • Para F_{BC} e F_{BE} (tração, mesmas magnitudes): mesma desigualdade \Rightarrow P\le 4\sqrt{3}.
  • Para F_{AB} e F_{CE} (compressão): \dfrac{2P}{\sqrt{3}}\le 6 \Rightarrow P\le \dfrac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.
  • Para F_{ED} (compressão): \dfrac{P}{\sqrt{3}}\le 6 \Rightarrow P\le 6\sqrt{3} (não crítica).
  • Para F_{AE} (compressão): P\sqrt{3}\le 6 \Rightarrow P\le \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}.
Agora escolhemos a menor dessas limitações (a mais restritiva), que determina P_{\max}. Os valores numéricos:
  • 4\sqrt{3}\approx 6{,}928\\ \text{kN}
  • 3\sqrt{3}\approx 5{,}196\\ \text{kN}
  • 2\sqrt{3}\approx 3{,}464\\ \text{kN}
  • 6\sqrt{3}\approx 10{,}392\\ \text{kN}
A menor é \,2\sqrt{3}\\ \text{kN}\,.

Passo 9

Conclusão interpretativa (resumo didático e motivador):
  • A barra que atinge sua resistência primeiro é AE (compressão), quando F_{AE}=6\\ \text{kN}.
  • Portanto a carga máxima que pode ser colocada em D sem violar os limites das barras é P_{\max}=2\sqrt{3}\\ \text{kN}\approx 3{,}464\\ \text{kN}.

Resposta

P_{\max}=2\sqrt{3}\\ \text{kN}\approx 3{,}464\\ \text{kN}

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