Determine a força entre uma espira circular carregada de raio
e apresenta densidade linear de carga uniforme
e uma carga puntiforme
posicionada sobre o eixo de simetria da espira a uma distância
do plano que contém a espira. Qual a força quando
, e quando
? Faça o gráfico da força em função de
.
Valor: 2,5
Valor: 2,5
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma espira circular, que é tipo um anel, com raio
e uma carga distribuída de forma uniforme nessa espira, com densidade linear de carga
. Além disso, tem uma carga pontual
posicionada ao longo do eixo de simetria da espira, a uma distância
do plano da espira. O que precisamos descobrir é qual é a força entre essa espira e a carga
em duas situações específicas: quando
é muito maior que
(
) e quando
é igual a zero (
). Também vamos esboçar um gráfico da força em função de
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente o cálculo do campo elétrico gerado pela espira no eixo e depois usar esse campo para encontrar a força sobre a carga
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico gerado pela espira no ponto onde está a carga
. A fórmula do campo elétrico no eixo de uma espira circular carregada é:
Aqui:
-
é o campo elétrico na distância . -
é a permissividade do vácuo. -
é a carga total da espira (pois a espira é um círculo de raio com densidade linear ).
Essa fórmula nos diz como o campo varia com a distância
ao longo do eixo da espira.
Passo 3
Agora que temos o campo elétrico, podemos calcular a força sobre a carga
usando a relação:
Substituindo a expressão do campo que encontramos:
Simplificando a expressão:
Essa é a expressão geral da força entre a espira e a carga
em função de
.
Passo 4
Vamos agora analisar os dois casos específicos que a questão pede.
Caso 1: Quando
Quando
é muito maior que
, ou seja,
, podemos simplificar a expressão
para aproximadamente
(já que
se torna desprezível comparado a
). Então:
Portanto, quando
, a força decai proporcionalmente a
.
Caso 2: Quando
Quando
, a carga
está exatamente no plano da espira. Substituindo
na expressão da força:
Então, nesse caso, a força é nula.
Passo 5
Por último, vamos pensar no gráfico da força
em função de
. Com base na nossa expressão geral e nos casos que analisamos:
- Quando
, . - Conforme
aumenta, a força inicialmente aumenta até atingir um valor máximo. - Depois desse ponto, conforme
continua aumentando e se torna muito maior que , a força começa a decair seguindo a proporcionalidade de .
Então, o gráfico vai começar no ponto
, subir até um pico e depois decair, aproximando-se de zero conforme
fica bem grande.
Resposta
Quando
, a força entre a espira e a carga
é aproximadamente:
E quando
, a força é nula:
Além disso, o gráfico da força em função de
mostra que a força começa em zero quando
, aumenta até atingir um valor máximo em uma certa distância e, para valores maiores de
, decai proporcionalmente a
.