Determine a força entre uma espira circular carregada de raio b e apresenta densidade linear de carga uniforme lambda e uma carga puntiforme Q posicionada sobre o eixo de simetria da espira a uma distância h do plano que contém a espira. Qual a força quando h gg b, e quando h=0 ? Faça o gráfico da força em função de h.
Valor: 2,5

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem uma espira circular, que é tipo um anel, com raio b e uma carga distribuída de forma uniforme nessa espira, com densidade linear de carga lambda. Além disso, tem uma carga pontual Q posicionada ao longo do eixo de simetria da espira, a uma distância h do plano da espira. O que precisamos descobrir é qual é a força entre essa espira e a carga Q em duas situações específicas: quando h é muito maior que b ( h gg b) e quando h é igual a zero ( h = 0). Também vamos esboçar um gráfico da força em função de h.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente o cálculo do campo elétrico gerado pela espira no eixo e depois usar esse campo para encontrar a força sobre a carga Q.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico gerado pela espira no ponto onde está a carga Q. A fórmula do campo elétrico no eixo de uma espira circular carregada é:
E(h) = 14pivarepsilon0 cdot 2pi b lambda h(h^2 + b^2)^3/2
Aqui:
  • E(h) é o campo elétrico na distância h.
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo.
  • 2pi b lambda é a carga total da espira (pois a espira é um círculo de raio b com densidade linear lambda).
Essa fórmula nos diz como o campo varia com a distância h ao longo do eixo da espira.

Passo 3

Agora que temos o campo elétrico, podemos calcular a força sobre a carga Q usando a relação:
F(h) = Q cdot E(h)
Substituindo a expressão do campo que encontramos:
F(h) = Q cdot 14pivarepsilon0 cdot 2pi b lambda h(h^2 + b^2)^3/2
Simplificando a expressão:
F(h) = lambda Q b2 varepsilon0 cdot h(h^2 + b^2)^3/2
Essa é a expressão geral da força entre a espira e a carga Q em função de h.

Passo 4

Vamos agora analisar os dois casos específicos que a questão pede.

Caso 1: Quando h gg b

Quando h é muito maior que b, ou seja, h gg b, podemos simplificar a expressão (h^2 + b^2)^3/2 para aproximadamente h^3 (já que b se torna desprezível comparado a h). Então:
F(h) approx lambda Q b2 varepsilon0 cdot hh^3 = lambda Q b2 varepsilon0 cdot 1h^2
Portanto, quando h gg b, a força decai proporcionalmente a 1/h^2.

Caso 2: Quando h = 0

Quando h = 0, a carga Q está exatamente no plano da espira. Substituindo h = 0 na expressão da força:
F(0) = lambda Q b2 varepsilon0 cdot 0(0^2 + b^2)^3/2 = 0
Então, nesse caso, a força é nula.

Passo 5

Por último, vamos pensar no gráfico da força F(h) em função de h. Com base na nossa expressão geral e nos casos que analisamos:
  • Quando h = 0, F = 0.
  • Conforme h aumenta, a força inicialmente aumenta até atingir um valor máximo.
  • Depois desse ponto, conforme h continua aumentando e se torna muito maior que b, a força começa a decair seguindo a proporcionalidade de 1/h^2.
Então, o gráfico vai começar no ponto (0, 0), subir até um pico e depois decair, aproximando-se de zero conforme h fica bem grande.

Resposta

Quando h gg b, a força entre a espira e a carga Q é aproximadamente:
F(h) approx lambda Q b2 varepsilon0 cdot 1h^2
E quando h = 0, a força é nula:
F(0) = 0
Além disso, o gráfico da força em função de h mostra que a força começa em zero quando h = 0, aumenta até atingir um valor máximo em uma certa distância e, para valores maiores de h, decai proporcionalmente a 1/h^2.

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