Um Funcionário tenta empurrar um baú por uma rampa inclinada.
Na inclinação de 30^{\circ} ele mal consegue empurrar o baú.
Na inclinação de 60^{\circ} ele mal consegue impedir que o baú deslize abaixo. Encontre o coeficiente de atrito.

Passo 1

O enunciado dá duas situações com a mesma caixa e pede o coeficiente de atrito entre a caixa e a rampa. As informações relevantes são:
\theta_1 = 30^\circ — na qual ele “mal consegue empurrar o baú” (situação de iminente movimento para cima);
\theta_2 = 60^\circ — na qual ele “mal consegue impedir que o baú deslize abaixo” (situação de iminente movimento para baixo).
Devemos encontrar o coeficiente de atrito estático \mu. Não foi dado o valor da força que o funcionário aplica, então vamos chamar essa força de F e tratar F como a mesma nas duas situações (isso é físico: é a força máxima que ele consegue aplicar ao empurrar).

Passo 2

Desenhando mentalmente as forças numa rampa: para um corpo de massa m inclinado em \theta temos
a) peso, que tem componente paralela à rampa mg\sin\theta (para baixo ao longo da rampa);
b) normal N perpendicular à rampa com N=mg\cos\theta;
c) força de atrito estático máxima \displaystyle f_{\max}=\mu N=\mu mg\cos\theta, que sempre se opõe ao movimento iminente;
d) força aplicada pelo funcionário F, ao longo da rampa, para cima (ele empurra para cima em ambas as situações).
Explico: \mu é a razão entre a força de atrito máxima e a normal; mg\sin\theta é a componente do peso que tende a fazer a caixa deslizar para baixo; mg\cos\theta é a componente que determina a normal.

Passo 3

Situação em \theta_1 = 30^\circ: ele “mal consegue empurrar o baú”, isto é, com a sua força F a caixa está no limite de começar a mover-se para cima. Nesse limite a força de atrito age para baixo (pois ela sempre se opõe ao movimento que tende a ocorrer — aqui o movimento iminente é para cima), e toma seu valor máximo f=\mu mg\cos\theta_1. Fazendo equilíbrio (soma das forças ao longo da rampa = 0) temos
F - mg\sin\theta_1 - \mu mg\cos\theta_1 = 0.
Isolando F:
F = mg\sin\theta_1 + \mu mg\cos\theta_1.

Passo 4

Situação em \theta_2 = 60^\circ: ele “mal consegue impedir que o baú deslize abaixo”, isto é, a caixa está no limite de começar a deslizar para baixo. Nesse limite a força de atrito age para cima (opondo-se ao deslizamento para baixo), e vale f=\mu mg\cos\theta_2. Fazendo equilíbrio:
F + \mu mg\cos\theta_2 - mg\sin\theta_2 = 0.
Isolando F:
F = mg\sin\theta_2 - \mu mg\cos\theta_2.

Passo 5

Como F é a mesma força máxima que o funcionário consegue aplicar nas duas situações, igualamos as duas expressões para F:
mg\sin\theta_1 + \mu mg\cos\theta_1 = mg\sin\theta_2 - \mu mg\cos\theta_2.
Cancelando mg dos dois lados:
\sin\theta_1 + \mu\cos\theta_1 = \sin\theta_2 - \mu\cos\theta_2.

Passo 6

Substituímos \theta_1=30^\circ e \theta_2=60^\circ. Usamos os valores conhecidos:
\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}, \cos 30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2},
\sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}, \cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}.
A equação fica
\tfrac{1}{2} + \mu\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = \tfrac{\sqrt{3}}{2} - \mu\cdot\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Colocando os termos com \mu do mesmo lado:
\mu\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2} + \tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{\sqrt{3}}{2} - \tfrac{1}{2}.
Fator comum \tfrac{1}{2}:
\mu\cdot\tfrac{1}{2}\big(\sqrt{3}+1\big) = \tfrac{1}{2}\big(\sqrt{3}-1\big).
Cancelando \tfrac{1}{2}:
\mu(\sqrt{3}+1)=\sqrt{3}-1.
Logo
\mu = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}.

Passo 8

Simplificamos a fração multiplicando numerador e denominador por \sqrt{3}-1:
\mu = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} +1}{3-1} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}.
Numérico aproximado:
\mu \approx 2 - 1{,}73205 \approx 0{,}2679\approx 0{,}268.

Resposta

\mu = 2-\sqrt{3}\approx 0{,}268

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