Determine a forma canônica das funções quadráticas. Também indique o domínio, a imagem, os zeros e o esboço do gráfico de cada item explicitando as interseções dos eixos quando houver.
f(x)=2 x^{2}-7 x+1

Passo 1

O enunciado fornece a função quadrática f e pede várias informações:
  • Função dada: f(x)=2 x^{2}-7 x+1.
  • O que é pedido:
    • A forma canônica (forma vértice / completando quadrado).
    • O domínio de f.
    • A imagem (conjunto de valores possíveis de f(x)).
    • Os zeros (raízes) da função.
    • Interseções com os eixos (quando houver).
    • Um esboço do gráfico explicando os pontos importantes (vértice, interseções, concavidade, e simetria).
Não vamos resolver aqui; apenas listei o que foi dado e o que precisamos encontrar.

Passo 2

Vamos encontrar a forma canônica por completamento de quadrado. Vou explicar o método passo a passo, bem devagarinho.
Ideia do completamento de quadrado: para transformar uma expressão do tipo a x^{2}+b x + c numa forma que revele o vértice, fatoramos a do termo quadrático e do linear, depois escrevemos um quadrado perfeito do tipo (x-h)^{2} e compensamos a diferença.
Aplicando em f(x)=2 x^{2}-7 x+1:
  1. Primeiro fatoramos 2 dos dois primeiros termos:
f(x)=2\!\left(x^{2}-\dfrac{7}{2}x\right)+1.
  1. Agora completamos o quadrado dentro do parêntese. Para completar o quadrado de x^{2}-\dfrac{7}{2}x, pega-se metade do coeficiente de x, que é \dfrac{7}{4}, e eleva-se ao quadrado:
\left(\dfrac{7}{4}\right)^{2}=\dfrac{49}{16}.
Então
x^{2}-\dfrac{7}{2}x = \left(x-\dfrac{7}{4}\right)^{2} - \dfrac{49}{16}.
  1. Substituindo de volta:
f(x)=2\!\left(\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^{2} - \dfrac{49}{16}\right) + 1.
  1. Distribuindo o 2 e somando o 1:
f(x)=2\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^{2} - 2\cdot\dfrac{49}{16} + 1.
f(x)=2\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^{2} - \dfrac{49}{8} + 1.
  1. Colocando 1 sobre o denominador comum \,8:
1=\dfrac{8}{8},
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-\dfrac{49}{8} + 1 = -\dfrac{49}{8} + \dfrac{8}{8} = -\dfrac{41}{8}.
Portanto a forma canônica (forma vértice) é
f(x)=2\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^{2} - \dfrac{41}{8}.

Passo 3

Interpretação da forma canônica — como ler o vértice e a concavidade:
  • A forma f(x)=a(x-h)^{2}+k revela imediatamente o vértice (h,k) e a concavidade (sinal de a).
  • No nosso caso a=2>0, então a parábola abre para cima (concavidade para cima) e tem um mínimo no vértice.
  • Comparando com a forma, obtemos o vértice:
h=\dfrac{7}{4},\qquad k=-\dfrac{41}{8}.
Em números aproximados: h=1{,}75 e k\approx -5{,}125.
A reta de simetria (eixo) é x=h, ou seja
\text{eixo de simetria: } x=\dfrac{7}{4}.
Como a parábola abre para cima, o valor mínimo de f é k=-\dfrac{41}{8}. Isso nos ajuda a determinar a imagem.

Passo 4

Domínio e imagem (explicação didática):
  • Para qualquer polinômio quadrático (ou polinômio em geral), podemos avaliar f(x) para todo x\in\mathbb{R}. Portanto o domínio é
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}.
  • Como a=2>0, a parábola tem um mínimo no vértice e não tem máximo (vai a +\infty para |x|\to\infty). Assim a imagem (conjunto de valores possíveis de f(x)) é
\mathrm{Im}(f)=\left[-\dfrac{41}{8},\,+\infty\right).

Passo 5

Cálculo dos zeros (raízes) usando a fórmula quadrática — explicação do método:
Para resolver 2 x^{2}-7 x+1=0, usamos a fórmula
x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta=b^{2}-4ac é o discriminante. Aqui a=2, b=-7, c=1.
  1. Calcular o discriminante:
\Delta = (-7)^{2} - 4\cdot 2\cdot 1 = 49 - 8 = 41.
Observe que \Delta>0, então há duas raízes reais distintas.
  1. Aplicando a fórmula:
x=\dfrac{-(-7)\pm\sqrt{41}}{2\cdot 2} = \dfrac{7\pm\sqrt{41}}{4}.
  1. Raízes exatas e aproximadas:
x_{1}=\dfrac{7-\sqrt{41}}{4}\approx 0{,}149219\quad\text{e}\quad x_{2}=\dfrac{7+\sqrt{41}}{4}\approx 3{,}350781.
Essas são as interseções com o eixo x: \left(\dfrac{7\pm\sqrt{41}}{4},\,0\right).

Passo 6

Interseção com o eixo y e verificação de simetria:
  • Interseção com o eixo y é f(0). Calculando:
f(0)=2\cdot 0^{2}-7\cdot 0 +1 = 1.
Portanto a parábola corta o eixo y no ponto (0,1).
  • Como verificação de coerência: o eixo de simetria x=\dfrac{7}{4} é o ponto médio entre as duas raízes. Fazendo a média:
\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}=\dfrac{\dfrac{7-\sqrt{41}}{4}+\dfrac{7+\sqrt{41}}{4}}{2}=\dfrac{\dfrac{14}{4}}{2}=\dfrac{7}{4},
o que confirma que a simetria bate certinho.

Passo 7

Descrição do esboço do gráfico (o que desenhar numa prova e por que):
  • Traçar o vértice em \left(\dfrac{7}{4},-\dfrac{41}{8}\right)\approx(1{,}75,\,-5{,}125). Esse é o ponto mais baixo da parábola.
  • A parábola abre para cima (porque a=2>0).
  • Marcar as interseções com o eixo x: \left(\dfrac{7-\sqrt{41}}{4},0\right) e \left(\dfrac{7+\sqrt{41}}{4},0\right), aproximadamente (0{,}1492,0) e (3{,}3508,0).
  • Marcar a interseção com o eixo y: (0,1).
  • Desenhar a reta vertical de simetria x=\dfrac{7}{4}; os dois ramos da parábola são simétricos em relação a essa reta.
  • Indicar que a função é decrescente para x<\dfrac{7}{4} e crescente para x>\dfrac{7}{4}.
Esses pontos e informações são suficientes para um esboço qualitativo correto do gráfico numa prova.

Resposta

Forma canônica: f(x)=2\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^{2}-\dfrac{41}{8}
Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \left[-\dfrac{41}{8},\,+\infty\right)
Zeros: x=\dfrac{7\pm\sqrt{41}}{4} (aprox. 0{,}149219 e 3{,}350781)
Interseção com o eixo y: (0,1)
Vértice: \left(\dfrac{7}{4},-\dfrac{41}{8}\right) (mínimo)
Eixo de simetria: x=\dfrac{7}{4}

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