Determine a forma canônica das funções quadráticas. Também indique o domínio, a imagem, os zeros e o esboço do gráfico de cada item explicitando as interseções dos eixos quando houver.
Passo 1
O enunciado fornece a função quadrática
e pede várias informações:
- Função dada:
. - O que é pedido:
- A forma canônica (forma vértice / completando quadrado).
- O domínio de
. - A imagem (conjunto de valores possíveis de
). - Os zeros (raízes) da função.
- Interseções com os eixos (quando houver).
- Um esboço do gráfico explicando os pontos importantes (vértice, interseções, concavidade, e simetria).
Não vamos resolver aqui; apenas listei o que foi dado e o que precisamos encontrar.
Passo 2
Vamos encontrar a forma canônica por completamento de quadrado. Vou explicar o método passo a passo, bem devagarinho.
Ideia do completamento de quadrado: para transformar uma expressão do tipo
numa forma que revele o vértice, fatoramos
do termo quadrático e do linear, depois escrevemos um quadrado perfeito do tipo
e compensamos a diferença.
Aplicando em
:
- Primeiro fatoramos
dos dois primeiros termos:
- Agora completamos o quadrado dentro do parêntese. Para completar o quadrado de
, pega-se metade do coeficiente de , que é , e eleva-se ao quadrado:
Então
- Substituindo de volta:
- Distribuindo o
e somando o :
- Colocando
sobre o denominador comum :
logo
Portanto a forma canônica (forma vértice) é
Passo 3
Interpretação da forma canônica — como ler o vértice e a concavidade:
- A forma
revela imediatamente o vértice e a concavidade (sinal de ). - No nosso caso
, então a parábola abre para cima (concavidade para cima) e tem um mínimo no vértice. - Comparando com a forma, obtemos o vértice:
Em números aproximados:
e
.
A reta de simetria (eixo) é
, ou seja
Como a parábola abre para cima, o valor mínimo de
é
. Isso nos ajuda a determinar a imagem.
Passo 4
Domínio e imagem (explicação didática):
- Para qualquer polinômio quadrático (ou polinômio em geral), podemos avaliar
para todo . Portanto o domínio é
- Como
, a parábola tem um mínimo no vértice e não tem máximo (vai a para ). Assim a imagem (conjunto de valores possíveis de ) é
Passo 5
Cálculo dos zeros (raízes) usando a fórmula quadrática — explicação do método:
Para resolver
, usamos a fórmula
onde
é o discriminante. Aqui
,
,
.
- Calcular o discriminante:
Observe que
, então há duas raízes reais distintas.
- Aplicando a fórmula:
- Raízes exatas e aproximadas:
Essas são as interseções com o eixo
:
.
Passo 6
Interseção com o eixo
e verificação de simetria:
- Interseção com o eixo
é . Calculando:
Portanto a parábola corta o eixo
no ponto
.
- Como verificação de coerência: o eixo de simetria
é o ponto médio entre as duas raízes. Fazendo a média:
o que confirma que a simetria bate certinho.
Passo 7
Descrição do esboço do gráfico (o que desenhar numa prova e por que):
- Traçar o vértice em
. Esse é o ponto mais baixo da parábola. - A parábola abre para cima (porque
). - Marcar as interseções com o eixo
: e , aproximadamente e . - Marcar a interseção com o eixo
: . - Desenhar a reta vertical de simetria
; os dois ramos da parábola são simétricos em relação a essa reta. - Indicar que a função é decrescente para
e crescente para .
Esses pontos e informações são suficientes para um esboço qualitativo correto do gráfico numa prova.
Resposta
Forma canônica:
Domínio:
Imagem:
Zeros: (aprox.
e
)
Interseção com o eixo :
Vértice: (mínimo)
Eixo de simetria:
Domínio:
Imagem:
Zeros:
Interseção com o eixo
Vértice:
Eixo de simetria: