Esboce o gráfico das funções a seguir, indique o domínio e a imagem de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede duas coisas:
- Esboçar o gráfico de
. - Indicar o domínio e a imagem (conjunto-valor) de
.
Informações que temos explicitamente:
- A fórmula de
para qualquer real é .
Passo 2
O que é domínio e como achar para
.
- Definição rápida: o domínio de uma função é o conjunto de valores de
para os quais a fórmula da função faz sentido. - Para polinômios (como
) a fórmula faz sentido para todo número real: não há divisão por zero, nem raiz par de número negativo, nem logaritmo de número não positivo etc. - Portanto, o domínio de
é todo o conjunto dos números reais, que escrevemos .
Passo 3
O que é imagem (ou conjunto-valor) e como abordar para
.
- Definição rápida: a imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir quando percorre o domínio. - Uma boa estratégia é estudar sinais, extremos e comportamento quando
cresce muito (comportamento no infinito) e quando está perto de pontos críticos (por exemplo ).
Passo 4
Mostrar que
é sempre não-negativa e encontrar o mínimo.
- Observe que
. Como qualquer número real ao quadrado é , temos
- Logo nenhum valor de
é negativo; todos são . - Avaliando em
dá . Assim é um valor atingido. - Portanto o menor valor de
é , alcançado em .
Passo 5
Confirmando que
é ponto mínimo usando derivadas (explicação passo a passo).
- Derivada de uma potência: se
com inteiro positivo, então . Aplicando aqui:
- Zeros da derivada:
acontece quando , ou seja em . - Segunda derivada para testar natureza do ponto crítico:
- Em
temos ; como e já vimos que é mínimo global. (Aqui a observação direta e é suficiente para concluir que é mínimo absoluto.)
Passo 6
Comportamento quando
e conclusão sobre a imagem.
- Quando
cresce, cresce muito: por exemplo . - Como
atinge o valor e cresce sem limite para , os valores possíveis de são todos os reais não-negativos. - Assim a imagem de
é o intervalo .
Passo 7
Simetria e monotonicidade — dicas úteis para esboçar o gráfico.
- Simetria:
. Logo é função par; o gráfico é simétrico em relação ao eixo . - Monotonicidade (usar a derivada): como
, - para
temos : é decrescente em ; - para
temos : é crescente em .
- para
- Em
há um mínimo e a tangente é horizontal porque .
Passo 8
Tabela de pontos simples para guiar o esboço (fácil de calcular sem calculadora).
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Esses pontos mostram: perto de
a função é bem “achatada” (cresce devagar, valores muito pequenos), e para
maiores a função sobe rapidamente.
Passo 9
Como esboçar o gráfico na prática (passo a passo para desenhar à mão).
- Desenhe eixos
e , marque o ponto . - Marque os pontos da tabela:
, , . - Lembre que o gráfico é simétrico em relação ao eixo
, decrescente à esquerda de e crescente à direita. - A curva tem um mínimo suave em
com tangente horizontal; próximo a ela é mais “plana” do que , e para grandes cresce mais rápido. - Una os pontos com uma curva lisa respeitando essa simetria e comportamento nas extremidades.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: