Esboce o gráfico das funções a seguir, indique o domínio e a imagem de cada uma delas.
f(x)=x^{4}

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=x^{4} e pede duas coisas:
  • Esboçar o gráfico de f.
  • Indicar o domínio e a imagem (conjunto-valor) de f.
Informações que temos explicitamente:
  • A fórmula de f para qualquer x real é f(x)=x^{4}.

Passo 2

O que é domínio e como achar para f(x)=x^{4}.
  • Definição rápida: o domínio de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a fórmula da função faz sentido.
  • Para polinômios (como x^{4}) a fórmula faz sentido para todo número real: não há divisão por zero, nem raiz par de número negativo, nem logaritmo de número não positivo etc.
  • Portanto, o domínio de f é todo o conjunto dos números reais, que escrevemos \mathbb{R}.

Passo 3

O que é imagem (ou conjunto-valor) e como abordar para f(x)=x^{4}.
  • Definição rápida: a imagem é o conjunto de todos os valores que f(x) pode assumir quando x percorre o domínio.
  • Uma boa estratégia é estudar sinais, extremos e comportamento quando \lvert x\rvert cresce muito (comportamento no infinito) e quando x está perto de pontos críticos (por exemplo x=0).

Passo 4

Mostrar que f(x) é sempre não-negativa e encontrar o mínimo.
  • Observe que x^{4}=(x^{2})^{2}. Como qualquer número real ao quadrado é \ge 0, temos
x^{4}\ge 0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
  • Logo nenhum valor de f é negativo; todos são \ge 0.
  • Avaliando em x=0 f(0)=0^{4}=0. Assim 0 é um valor atingido.
  • Portanto o menor valor de f é 0, alcançado em x=0.

Passo 5

Confirmando que x=0 é ponto mínimo usando derivadas (explicação passo a passo).
  • Derivada de uma potência: se g(x)=x^{n} com n inteiro positivo, então g'(x)=n x^{n-1}. Aplicando aqui:
f'(x)=4x^{3}.
  • Zeros da derivada: f'(x)=0 acontece quando 4x^{3}=0, ou seja em x=0.
  • Segunda derivada para testar natureza do ponto crítico:
f''(x)=12x^{2}\ge 0\\ \text{ para todo }x.
  • Em x=0 temos f''(0)=0; como f(x)\ge 0 e f(0)=0 já vimos que é mínimo global. (Aqui a observação direta x^{4}\ge 0 e f(0)=0 é suficiente para concluir que é mínimo absoluto.)

Passo 6

Comportamento quando \lvert x\rvert\to\infty e conclusão sobre a imagem.
  • Quando \lvert x\rvert cresce, \lvert x\rvert^{4} cresce muito: por exemplo \lim_{x\to\pm\infty}x^{4}=+\infty.
  • Como f atinge o valor 0 e cresce sem limite para +\infty, os valores possíveis de f são todos os reais não-negativos.
  • Assim a imagem de f é o intervalo [0,\infty).

Passo 7

Simetria e monotonicidade — dicas úteis para esboçar o gráfico.
  • Simetria: f(-x)=(-x)^{4}=x^{4}=f(x). Logo f é função par; o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
  • Monotonicidade (usar a derivada): como f'(x)=4x^{3},
    • para x<0 temos x^{3}<0\Rightarrow f'(x)<0: f é decrescente em (-\infty,0);
    • para x>0 temos x^{3}>0\Rightarrow f'(x)>0: f é crescente em (0,\infty).
  • Em x=0 há um mínimo e a tangente é horizontal porque f'(0)=0.

Passo 8

Tabela de pontos simples para guiar o esboço (fácil de calcular sem calculadora).
  • x=-2\Rightarrow f(-2)=(-2)^{4}=16.
  • x=-1\Rightarrow f(-1)=1.
  • x=-\tfrac{1}{2}\Rightarrow f(-\tfrac{1}{2})=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}=\tfrac{1}{16}.
  • x=0\Rightarrow f(0)=0.
  • x=\tfrac{1}{2}\Rightarrow f(\tfrac{1}{2})=\tfrac{1}{16}.
  • x=1\Rightarrow f(1)=1.
  • x=2\Rightarrow f(2)=16.
Esses pontos mostram: perto de 0 a função é bem “achatada” (cresce devagar, valores muito pequenos), e para \lvert x\rvert maiores a função sobe rapidamente.

Passo 9

Como esboçar o gráfico na prática (passo a passo para desenhar à mão).
  • Desenhe eixos x e y, marque o ponto (0,0).
  • Marque os pontos da tabela: (\pm\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{16}), (\pm1,1), (\pm2,16).
  • Lembre que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y, decrescente à esquerda de 0 e crescente à direita.
  • A curva tem um mínimo suave em (0,0) com tangente horizontal; próximo a 0 ela é mais “plana” do que y=x^{2}, e para grandes \lvert x\rvert cresce mais rápido.
  • Una os pontos com uma curva lisa respeitando essa simetria e comportamento nas extremidades.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [0,\infty)

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