Determine a forma escalonada dos sistemas lineares sobre \mathbb{C} e determine seu conjunto solução:
\left\{\begin{aligned} 3 r_{1}+2 r_{2}-r_{3} & =-15 \\\ r_{1}+3 r_{2}+2 r_{3} & =0 \\\\ 3 r_{1}+x_{2}+3 x_{3} & =11 \\\\ -6 x_{1}-4 x_{2}+2 r_{3} & =30\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de quatro equações lineares em incógnitas que aparecem escritas com r’s e x’s de forma misturada:
\begin{cases} 3 r_{1}+2 r_{2}-r_{3} =-15,\\[4pt] r_{1}+3 r_{2}+2 r_{3} =0,\\[4pt] 3 r_{1}+x_{2}+3 x_{3} =11,\\[4pt] -6 x_{1}-4 x_{2}+2 r_{3} =30. \end{cases}
O que o enunciado pede:
  • Determinar a forma escalonada do sistema (ou seja, uma forma por linhas onde cada linha não nula tem mais zeros à esquerda que a anterior).
  • Determinar o conjunto solução.
Observação sobre notação: as incógnitas aparecem com índices iguais porém letras diferentes ( r_1,r_2,r_3 e x_1,x_2,x_3). Para que o sistema faça sentido como um sistema único de incógnitas, vou assumir que todas essas notações se referem às mesmas variáveis e renomear consistentemente para \,x_1,x_2,x_3. Assim, o sistema que vou resolver é
\begin{cases} 3x_{1}+2x_{2}-x_{3} = -15,\\[4pt] x_{1}+3x_{2}+2x_{3} = 0,\\[4pt] 3x_{1}+x_{2}+3x_{3} = 11,\\[4pt] -6x_{1}-4x_{2}+2x_{3} = 30. \end{cases}]

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada do sistema e explicar os conceitos básicos que vamos usar.
Matriz aumentada (coluna à direita é o termo independente):
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & -15\\[4pt] 1 & 3 & 2 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 3 & 11\\[4pt] -6 & -4 & 2 & 30 \end{array}\right].
Conceitos rápidos e operações permitidas (elementares):
  • Trocar duas linhas.
  • Multiplicar uma linha por um escalar não nulo.
  • Somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
    Essas operações preservam o conjunto solução. O objetivo é obter uma forma escalonada em que cada pivô (primeiro elemento não nulo de uma linha) esteja à direita do pivô da linha anterior.]

Passo 3

Escolho como primeiro pivô a entrada na posição (1,1). É conveniente ter um 1 aí; já temos uma linha com 1 (segunda linha). Faço a troca R_1 \leftrightarrow R_2 (trocar linha 1 com linha 2). Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 0\\[4pt] 3 & 2 & -1 & -15\\[4pt] 3 & 1 & 3 & 11\\[4pt] -6 & -4 & 2 & 30 \end{array}\right].
Agora anulo as entradas abaixo do pivô na coluna 1 usando combinações de linhas:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1,
  • R_4 \leftarrow R_4 + 6R_1.
Faço-as uma a uma e calculo os resultados:
Para R_2: [3,2,-1|-15] - 3\cdot[1,3,2|0] = [0,-7,-7|-15].
Para R_3: [3,1,3|11] - 3\cdot[1,3,2|0] = [0,-8,-3|11].
Para R_4: [-6,-4,2|30] + 6\cdot[1,3,2|0] = [0,14,14|30].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 0\\[4pt] 0 & -7 & -7 & -15\\[4pt] 0 & -8 & -3 & 11\\[4pt] 0 & 14 & 14 & 30 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora o próximo pivô é na segunda coluna, linha 2; o elemento é -7. Vou usar esse pivô para zerar as entradas abaixo (coluna 2).
Operações:
  • R_3 \leftarrow R_3 - \dfrac{8}{7}R_2 (porque -8 - \dfrac{8}{7}\cdot(-7)=0),
  • R_4 \leftarrow R_4 + 2R_2 (porque 14 + 2\cdot(-7)=0).
Calculemos:
Para R_3:
segunda entrada: -8 - \dfrac{8}{7}\cdot(-7)=0 (como planejado).
terceira entrada: -3 - \dfrac{8}{7}\cdot(-7) = -3 - (-8) = 5.
termo independente: 11 - \dfrac{8}{7}\cdot(-15) = 11 + \dfrac{120}{7} = \dfrac{77}{7} + \dfrac{120}{7} = \dfrac{197}{7}.
Logo R_3 = [0,0,5 \mid \tfrac{197}{7}].
Para R_4:
segunda entrada: 14 + 2\cdot(-7)=0.
terceira entrada: 14 + 2\cdot(-7)=0.
termo independente: 30 + 2\cdot(-15)=0.
Logo R_4 = [0,0,0 \mid 0].
A matriz agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 0\\[4pt] 0 & -7 & -7 & -15\\[4pt] 0 & 0 & 5 & \dfrac{197}{7}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Esta é uma forma escalonada (cada linha não nula tem o primeiro elemento não nulo mais à direita que a da linha de cima). Vou simplificar os pivôs para facilitar a leitura e a resolução.]

Passo 5

Normalizo os pivôs (dividir linha por escalares para transformar pivôs em 1):
  • R_2 \leftarrow -\dfrac{1}{7}R_2 R_2 = [0,1,1 \mid \tfrac{15}{7}] porque -15/(-7)=15/7.
  • R_3 \leftarrow \dfrac{1}{5}R_3 R_3 = [0,0,1 \mid \tfrac{197}{35}].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & \dfrac{15}{7}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \dfrac{197}{35}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Esta já é uma forma escalonada com pivôs 1 nas posições (1,1), (2,2), (3,3).]

Passo 6

Agora faço eliminação para obter zeros acima dos pivôs (voltar substituição), isto facilita ler a solução diretamente.
Primeiro anulo a coluna 3 na linha 2: R_2 \leftarrow R_2 - R_3.
Cálculo do termo independente: \dfrac{15}{7} - \dfrac{197}{35} = \dfrac{75}{35} - \dfrac{197}{35} = -\dfrac{122}{35}.
Assim R_2 = [0,1,0 \mid -\tfrac{122}{35}].
Depois anulo a coluna 3 na linha 1: R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3.
Termo independente em R_1: 0 - 2\cdot\dfrac{197}{35} = -\dfrac{394}{35}.
Então R_1 = [1,3,0 \mid -\tfrac{394}{35}].
Finalmente anulo a coluna 2 em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2.
Termo independente: -\dfrac{394}{35} - 3\cdot\left(-\dfrac{122}{35}\right) = -\dfrac{394}{35} + \dfrac{366}{35} = -\dfrac{28}{35} = -\dfrac{4}{5}.
Agora a matriz reduzida (forma escalonada reduzida) é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -\dfrac{4}{5}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -\dfrac{122}{35}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \dfrac{197}{35}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 7

Interpretação: as linhas correspondem às equações
x_{1} = -\dfrac{4}{5},\qquad x_{2} = -\dfrac{122}{35},\qquad x_{3} = \dfrac{197}{35}.
Não há linhas inconsistentes (como [0\\\ 0\\\ 0 \mid c] com c\neq0), e todas as variáveis são pivôs → solução única.
Verificação rápida (opcional didático): substituir esses valores nas equações originais retorna os termos independentes corretos (confere-se que as contas batem).

Resposta

A forma escalonada (e reduzida) da matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -\dfrac{4}{5}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -\dfrac{122}{35}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \dfrac{197}{35}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
O conjunto solução é
\left\{\,\bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr)=\left(-\dfrac{4}{5},\; -\dfrac{122}{35},\; \dfrac{197}{35}\right)\,\right\}.]

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