Determinar a forma escalonada do sistema (ou seja, uma forma por linhas onde cada linha não nula tem mais zeros à esquerda que a anterior).
Determinar o conjunto solução.
Observação sobre notação: as incógnitas aparecem com índices iguais porém letras diferentes (r_1,r_2,r_3 e x_1,x_2,x_3). Para que o sistema faça sentido como um sistema único de incógnitas, vou assumir que todas essas notações se referem às mesmas variáveis e renomear consistentemente para \,x_1,x_2,x_3. Assim, o sistema que vou resolver é
Conceitos rápidos e operações permitidas (elementares):
Trocar duas linhas.
Multiplicar uma linha por um escalar não nulo.
Somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
Essas operações preservam o conjunto solução. O objetivo é obter uma forma escalonada em que cada pivô (primeiro elemento não nulo de uma linha) esteja à direita do pivô da linha anterior.]
Passo 3
Escolho como primeiro pivô a entrada na posição (1,1). É conveniente ter um 1 aí; já temos uma linha com 1 (segunda linha). Faço a troca R_1 \leftrightarrow R_2 (trocar linha 1 com linha 2). Resultado:
Esta é uma forma escalonada (cada linha não nula tem o primeiro elemento não nulo mais à direita que a da linha de cima). Vou simplificar os pivôs para facilitar a leitura e a resolução.]
Passo 5
Normalizo os pivôs (dividir linha por escalares para transformar pivôs em 1):
R_2 \leftarrow -\dfrac{1}{7}R_2 dá R_2 = [0,1,1 \mid \tfrac{15}{7}] porque -15/(-7)=15/7.
R_3 \leftarrow \dfrac{1}{5}R_3 dá R_3 = [0,0,1 \mid \tfrac{197}{35}].
Esta já é uma forma escalonada com pivôs 1 nas posições (1,1), (2,2), (3,3).]
Passo 6
Agora faço eliminação para obter zeros acima dos pivôs (voltar substituição), isto facilita ler a solução diretamente.
Primeiro anulo a coluna 3 na linha 2: R_2 \leftarrow R_2 - R_3.
Cálculo do termo independente: \dfrac{15}{7} - \dfrac{197}{35} = \dfrac{75}{35} - \dfrac{197}{35} = -\dfrac{122}{35}.
Assim R_2 = [0,1,0 \mid -\tfrac{122}{35}].
Depois anulo a coluna 3 na linha 1: R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3.
Termo independente em R_1: 0 - 2\cdot\dfrac{197}{35} = -\dfrac{394}{35}.
Então R_1 = [1,3,0 \mid -\tfrac{394}{35}].
Finalmente anulo a coluna 2 em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - 3R_2.
Termo independente: -\dfrac{394}{35} - 3\cdot\left(-\dfrac{122}{35}\right) = -\dfrac{394}{35} + \dfrac{366}{35} = -\dfrac{28}{35} = -\dfrac{4}{5}.
Agora a matriz reduzida (forma escalonada reduzida) é
Não há linhas inconsistentes (como [0\\\ 0\\\ 0 \mid c] com c\neq0), e todas as variáveis são pivôs → solução única.
Verificação rápida (opcional didático): substituir esses valores nas equações originais retorna os termos independentes corretos (confere-se que as contas batem).
Resposta
A forma escalonada (e reduzida) da matriz aumentada é