Encontre 0 vetor \vec{w} que satisfaz as seguintes relacies:
2 \vec{w}-3 \vec{v}=(1,2), onde \vec{v}=(0,1)

Passo 1

O enunciado pede encontrar o vetor \vec{w} que satisfaz a equação vetorial
2\vec{w}-3\vec{v}=(1,2),
onde foi dado que \vec{v}=(0,1).
Informações relevantes:
  • Equação a resolver: 2\vec{w}-3\vec{v}=(1,2).
  • Vetor conhecido: \vec{v}=(0,1).
  • Objetivo: determinar \vec{w}.

Passo 2

Ideia de resolução (explicação didática): operações com vetores em \mathbb{R}^2 são feitas componente a componente. Regras usadas:
  • Multiplicação escalar: se k é escalar e \vec{a}=(a_1,a_2), então k\vec{a}=(ka_1,ka_2).
  • Soma de vetores: se \vec{a}=(a_1,a_2) e \vec{b}=(b_1,b_2), então \vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2).
    Para isolar \vec{w} numa equação linear do tipo 2\vec{w}-3\vec{v}=(1,2) podemos: somar 3\vec{v} em ambos os lados (para eliminar o termo com \vec{v}) e depois multiplicar por \tfrac{1}{2} (ou dividir por 2) para obter \vec{w}.

Passo 3

Calcular 3\vec{v} usando \vec{v}=(0,1). Aplicando multiplicação escalar componente a componente:
3\vec{v}=3(0,1)=(3\cdot0,\,3\cdot1)=(0,3).

Passo 4

Somar 3\vec{v} aos dois membros da equação para isolar 2\vec{w}:
2\vec{w}-3\vec{v}+3\vec{v}=(1,2)+3\vec{v}
2\vec{w}=(1,2)+(0,3).
Agora somamos componentes:
(1,2)+(0,3)=(1+0,\,2+3)=(1,5).
Logo \;2\vec{w}=(1,5).

Passo 5

Dividir por 2 (ou multiplicar por \tfrac{1}{2}) para obter \vec{w}:
\vec{w}=\tfrac{1}{2}(1,5)=\left(\tfrac{1}{2}\cdot1,\;\tfrac{1}{2}\cdot5\right)=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{5}{2}\right).

Passo 6

Verificação rápida (substituição de volta): calcular 2\vec{w}-3\vec{v} com o \vec{w} encontrado.
2\vec{w}=2\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{5}{2}\right)=(1,5), \qquad 3\vec{v}=(0,3).
2\vec{w}-3\vec{v}=(1,5)-(0,3)=(1-0,\,5-3)=(1,2),
que é exatamente o lado direito da equação original. Portanto o resultado está correto.

Resposta

\vec{w}=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{5}{2}\right)

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