Encontre 0 vetor \vec{w} que satisfaz as seguintes relacies:
\vec{u}+ \vec{w}=\vec{v}-\vec{w}, onde \vec{u}=(1,1,0) e \vec{v}=(2,1,2)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o vetor \vec{w} que satisfaz a equação
\vec{u}+\vec{w}=\vec{v}-\vec{w},
onde foram dados os vetores
\vec{u}=(1,1,0),\qquad \vec{v}=(2,1,2).
Ou seja, precisamos achar \vec{w} (tripla de componentes) que torna essas duas somas iguais.

Passo 2

Vamos manipular a equação dada usando operações com vetores (essas operações seguem as mesmas regras da álgebra de números: dá para somar ambos os lados por um mesmo vetor, subtrair, e multiplicar por escalar). Partindo de
\vec{u}+\vec{w}=\vec{v}-\vec{w},
adiciono \vec{w} aos dois lados para juntar os termos com \vec{w}:
\vec{u}+\vec{w}+\vec{w}=\vec{v}.
Como \vec{w}+\vec{w}=2\vec{w}, isso vira
\vec{u}+2\vec{w}=\vec{v}.

Passo 3

Agora isolo 2\vec{w} subtraindo \vec{u} de ambos os lados:
2\vec{w}=\vec{v}-\vec{u}.
Para encontrar \vec{w} divido por 2 (isto é, multiplico por \tfrac{1}{2}):
\vec{w}=\tfrac{1}{2}(\vec{v}-\vec{u}).
Aqui uso que multiplicar um vetor por um escalar atua componente a componente.

Passo 4

Calculo primeiro \vec{v}-\vec{u} componente a componente (peguei \vec{u} e \vec{v} do enunciado):
\vec{v}-\vec{u}=(2-1,\;1-1,\;2-0)=(1,0,2).

Passo 5

Multiplico esse resultado por \tfrac{1}{2} componente a componente:
\vec{w}=\tfrac{1}{2}(1,0,2)=(\tfrac{1}{2},0,1).
Explicando: multiplicar por \tfrac{1}{2} significa dividir cada componente por 2.

Passo 6

Checagem rápida (sempre boa ideia): calcular \vec{u}+\vec{w} e \vec{v}-\vec{w} para ver se coincidem.
\vec{u}+\vec{w}=(1,1,0)+(\tfrac{1}{2},0,1)=(1+\tfrac{1}{2},\,1+0,\,0+1)=(\tfrac{3}{2},1,1),
\vec{v}-\vec{w}=(2,1,2)-(\tfrac{1}{2},0,1)=(2-\tfrac{1}{2},\,1-0,\,2-1)=(\tfrac{3}{2},1,1).
Como os dois resultados são iguais, a \vec{w} encontrada está correta. Força aí — tu já conseguiu a parte chata!

Resposta

\vec{w}=\bigl(\tfrac{1}{2},0,1\bigr)

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