Determine a forma geral da solução particular de cada uma das EDOs:
x \prime \prime+3 x \prime=2 t{4}+t{2} e^{-3 t}+\sin (3 t) .
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial não homogênea
x''+3x' = 2t^{4} + t^{2}e^{-3t} + \sin(3t).
Pergunta: determinar a forma geral da solução particular correspondente a cada termo do lado direito (ou seja, a solução particular associada a 2t^{4}, a solução particular associada a t^{2}e^{-3t} e a solução particular associada a \sin(3t)), e então a solução particular total (soma das três).
Informações relevantes fornecidas:
A equação é linear, com coeficientes constantes, de segunda ordem.
O termo não homogêneo é a soma de três funções: um polinômio 2t^{4}, uma função da forma polinômio vezes exponencial t^{2}e^{-3t} e uma função trigonométrica \sin(3t).
Não há outras condições iniciais; pede-se apenas a forma (e vamos determinar os coeficientes) da solução particular.
Passo 2
Vamos começar examinando a equação homogênea associada (isso é útil para decidir o tipo de tentativa de solução particular). A homogênea é
x''+3x'=0.
Achar as raízes do polinômio característico:
r^{2}+3r = r(r+3)=0,
portanto as raízes são r=0 e r=-3 (raízes simples). Eu não vou ainda escrever a solução homogênea completa (não é o pedido), mas é importante saber que as soluções homogêneas são múltiplos de 1 (correspondente a r=0) e de e^{-3t} (correspondente a r=-3). Isso determina possíveis ressonâncias com termos do lado direito.
Passo 3
Explico a estratégia didática: usaremos o método dos coeficientes a determinar (method of undetermined coefficients). Regra prática para escolher a forma da tentativa (ansatz):
Para um termo polinomial P(t) de grau n: tentar um polinômio de grau n. Se 0 for raiz da equação característica com multiplicidade s, multiplicar a tentativa por t^{s}.
Para um termo do tipo p(t)e^{\alpha t}: tentar t^{s}e^{\alpha t} q(t), onde q(t) é polinômio do mesmo grau que p, e s é a multiplicidade de \alpha como raiz do polinômio característico.
Para um termo trigonométrico \cos(\beta t) ou \sin(\beta t): tentar combinação A\cos(\beta t)+B\sin(\beta t); se i\beta (ou -i\beta) for raiz, multiplicar por t^{s} conforme multiplicidade.
Aqui vejamos ressonâncias:
2t^{4} é polinômio; r=0 é raiz da característica de multiplicidade 1, então devemos multiplicar a tentativa polinomial por t^{1}.
t^{2}e^{-3t} tem \alpha=-3; como r=-3 é raiz de multiplicidade 1, devemos multiplicar por t^{1}.
\sin(3t) corresponde a raízes \pm 3i da equação característica; como a característica tem raízes 0 e -3, não há ressonância com \pm 3i, então a tentativa padrão vale sem multiplicação por t.
Passo 4
Construção das tentativas (ansätze) para cada termo, explicando cada escolha:
Para o termo 2t^{4} (polinômio de grau 4) e com r=0 presente com multiplicidade 1, tentamos