Determine a forma geral da solução particular de cada uma das EDOs:

x \prime \prime+3 x \prime=2 t{4}+t{2} e^{-3 t}+\sin (3 t) .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial não homogênea
x''+3x' = 2t^{4} + t^{2}e^{-3t} + \sin(3t).
Pergunta: determinar a forma geral da solução particular correspondente a cada termo do lado direito (ou seja, a solução particular associada a 2t^{4}, a solução particular associada a t^{2}e^{-3t} e a solução particular associada a \sin(3t)), e então a solução particular total (soma das três).
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é linear, com coeficientes constantes, de segunda ordem.
  • O termo não homogêneo é a soma de três funções: um polinômio 2t^{4}, uma função da forma polinômio vezes exponencial t^{2}e^{-3t} e uma função trigonométrica \sin(3t).
  • Não há outras condições iniciais; pede-se apenas a forma (e vamos determinar os coeficientes) da solução particular.

Passo 2

Vamos começar examinando a equação homogênea associada (isso é útil para decidir o tipo de tentativa de solução particular). A homogênea é
x''+3x'=0.
Achar as raízes do polinômio característico:
r^{2}+3r = r(r+3)=0,
portanto as raízes são r=0 e r=-3 (raízes simples). Eu não vou ainda escrever a solução homogênea completa (não é o pedido), mas é importante saber que as soluções homogêneas são múltiplos de 1 (correspondente a r=0) e de e^{-3t} (correspondente a r=-3). Isso determina possíveis ressonâncias com termos do lado direito.

Passo 3

Explico a estratégia didática: usaremos o método dos coeficientes a determinar (method of undetermined coefficients). Regra prática para escolher a forma da tentativa (ansatz):
  • Para um termo polinomial P(t) de grau n: tentar um polinômio de grau n. Se 0 for raiz da equação característica com multiplicidade s, multiplicar a tentativa por t^{s}.
  • Para um termo do tipo p(t)e^{\alpha t}: tentar t^{s}e^{\alpha t} q(t), onde q(t) é polinômio do mesmo grau que p, e s é a multiplicidade de \alpha como raiz do polinômio característico.
  • Para um termo trigonométrico \cos(\beta t) ou \sin(\beta t): tentar combinação A\cos(\beta t)+B\sin(\beta t); se i\beta (ou -i\beta) for raiz, multiplicar por t^{s} conforme multiplicidade.
Aqui vejamos ressonâncias:
  • 2t^{4} é polinômio; r=0 é raiz da característica de multiplicidade 1, então devemos multiplicar a tentativa polinomial por t^{1}.
  • t^{2}e^{-3t} tem \alpha=-3; como r=-3 é raiz de multiplicidade 1, devemos multiplicar por t^{1}.
  • \sin(3t) corresponde a raízes \pm 3i da equação característica; como a característica tem raízes 0 e -3, não há ressonância com \pm 3i, então a tentativa padrão vale sem multiplicação por t.

Passo 4

Construção das tentativas (ansätze) para cada termo, explicando cada escolha:
  1. Para o termo 2t^{4} (polinômio de grau 4) e com r=0 presente com multiplicidade 1, tentamos
x_{p1}(t) = t\cdot (a_{4}t^{4}+a_{3}t^{3}+a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0})
que é equivalente a
x_{p1}(t) = A t^{5} + B t^{4} + C t^{3} + D t^{2} + E t,
com constantes A,B,C,D,E a determinar. Justificativa: sem o fator t seria um polinômio de grau 4, mas pela ressonância (raiz r=0) multiplicamos por t.
  1. Para o termo t^{2}e^{-3t}: aqui p(t) é grau 2 e \alpha=-3 é raiz simples da característica, então tentamos
x_{p2}(t) = t\,e^{-3t}\cdot (b_{2}t^{2}+b_{1}t+b_{0}).
É conveniente reescrever como
x_{p2}(t) = e^{-3t}\big(P t^{3} + Q t^{2} + R t\big),
onde P,Q,R são constantes a determinar (note que o fator t aumenta o grau efetivo em 1).
  1. Para o termo \sin(3t): não há ressonância, então a tentativa padrão é
x_{p3}(t) = M\cos(3t) + N\sin(3t),
com M,N a determinar.
A solução particular total será a soma
x_{p}(t) = x_{p1}(t) + x_{p2}(t) + x_{p3}(t).

Passo 5

Determinar os coeficientes de x_{p1}\) (parte polinomial). Começamos com \[x_{p1}(t) = A t^{5} + B t^{4} + C t^{3} + D t^{2} + E t.
Calcular derivadas:
x_{p1}'(t)=5A t^{4}+4B t^{3}+3C t^{2}+2D t+E,
x_{p1}''(t)=20A t^{3}+12B t^{2}+6C t+2D.
Aplicar o operador L[x]=x''+3x':
L[x_{p1}] = x_{p1}'' + 3x_{p1}'.
Calculemos termo a termo:
x_{p1}'' + 3x_{p1}' = (20A t^{3}+12B t^{2}+6C t+2D) + 3(5A t^{4}+4B t^{3}+3C t^{2}+2D t+E).
Agrupando por potências de t:
x_{p1}'' + 3x_{p1}' = 15A t^{4} + (20A+12B) t^{3} + (12B+9C) t^{2} + (6C+6D) t + (2D+3E).
Esse resultado deve igualar ao termo 2t^{4}, ou seja
15A t^{4} + (20A+12B) t^{3} + (12B+9C) t^{2} + (6C+6D) t + (2D+3E) = 2t^{4}.
Comparando coeficientes de cada potência de t obtemos o sistema:
\begin{cases} 15A = 2,\\[4pt] 20A+12B = 0,\\[4pt] 12B+9C = 0,\\[4pt] 6C+6D = 0,\\[4pt] 2D+3E = 0. \end{cases}
Resolver passo a passo:
A=\frac{2}{15}.
Substituindo em (20A+12B=0]:
20\cdot\frac{2}{15} + 12B = 0 \implies \frac{40}{15} + 12B = 0 \implies 12B = -\frac{40}{15} = -\frac{8}{3},
B = -\frac{8}{36} = -\frac{2}{9}.
Agora 12B+9C=0:
12\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)+9C = 0 \implies -\frac{24}{9}+9C=0 \implies 9C=\frac{24}{9}=\frac{8}{3},
C=\frac{8}{27}.
Agora 6C+6D=0:
6\cdot\frac{8}{27}+6D=0 \implies \frac{48}{27}+6D=0 \implies 6D=-\frac{48}{27}=-\frac{16}{9},
D=-\frac{16}{54}=-\frac{8}{27}.
Finalmente 2D+3E=0:
2\cdot\left(-\frac{8}{27}\right)+3E=0 \implies -\frac{16}{27}+3E=0 \implies 3E=\frac{16}{27},
E=\frac{16}{81}.
Portanto a solução particular associada ao termo polinomial é
x_{p1}(t)=\frac{2}{15}t^{5}-\frac{2}{9}t^{4}+\frac{8}{27}t^{3}-\frac{8}{27}t^{2}+\frac{16}{81}t.]

Passo 6

Determinar os coeficientes de x_{p2} (parte t^{2}e^{-3t}). Como explicado, usamos a forma
x_{p2}(t) = e^{-3t}\big(P t^{3} + Q t^{2} + R t\big),
onde P,Q,R são constantes. Para cálculo prático uso a fórmula (para y=e^{-3t}p(t) com p polinomial):
y' = e^{-3t}(p' - 3p),\qquad y'' = e^{-3t}(p'' -6p' +9p).
Então
L[y] = y'' + 3y' = e^{-3t}\big(p'' -6p' +9p\big) + 3 e^{-3t}\big(p' - 3p\big) = e^{-3t}\big(p'' -3p'\big).
Logo basta calcular p'' -3p' com p(t)=P t^{3}+Q t^{2}+R t. Temos
p'(t)=3P t^{2}+2Q t+R,\qquad p''(t)=6P t+2Q.
Portanto
p''-3p' = (6P t + 2Q) - 3(3P t^{2}+2Q t+R) = -9P t^{2} + (6P-6Q)t + (2Q-3R).
Comparando com o termo que queremos produzir (que é t^{2} multiplicado por e^{-3t}), temos a igualdade
e^{-3t}\big(-9P t^{2} + (6P-6Q)t + (2Q-3R)\big) = e^{-3t}\cdot t^{2}.
Assim os coeficientes do polinômio devem satisfazer:
-9P = 1,\qquad 6P-6Q = 0,\qquad 2Q-3R=0.
Resolver:
P=-\frac{1}{9}.
Com 6P-6Q=0:
6\left(-\frac{1}{9}\right)-6Q=0 \implies -\frac{6}{9}-6Q=0 \implies -\frac{2}{3}-6Q=0 \implies Q=-\frac{1}{9}.
Com 2Q-3R=0:
2\left(-\frac{1}{9}\right)-3R=0 \implies -\frac{2}{9}-3R=0 \implies R=-\frac{2}{27}.
Portanto
x_{p2}(t) = e^{-3t}\left(-\frac{1}{9}t^{3} -\frac{1}{9}t^{2} -\frac{2}{27}t\right).

Passo 7

Determinar os coeficientes de x_{p3} (parte trigonométrica \sin(3t)). Tomamos
x_{p3}(t)=M\cos(3t)+N\sin(3t).
Derivadas:
x_{p3}' = -3M\sin(3t)+3N\cos(3t),
x_{p3}'' = -9M\cos(3t)-9N\sin(3t).
Aplicando L:
L[x_{p3}] = x_{p3}'' + 3x_{p3}' = (-9M\cos-9N\sin) + 3(-3M\sin+3N\cos).
Agrupando os coeficientes de \cos(3t) e \sin(3t):
L[x_{p3}] = 9(-M+N)\cos(3t) - 9(M+N)\sin(3t).
Queremos que isso seja igual a \sin(3t), ou seja
9(-M+N)\cos(3t) -9(M+N)\sin(3t) = 0\cdot\cos(3t) + 1\cdot\sin(3t).
Comparando coeficientes:
9(-M+N)=0,\qquad -9(M+N)=1.
Da primeira equação N=M. Substituindo na segunda:
-9(M+M)=1 \implies -18M=1 \implies M=-\frac{1}{18}.
Logo N=M=-\frac{1}{18}. Assim
x_{p3}(t) = -\frac{1}{18}\cos(3t) - \frac{1}{18}\sin(3t) = -\frac{1}{18}\big(\cos(3t)+\sin(3t)\big).

Passo 8

Juntando tudo: a solução particular total é a soma das três partes calculadas:
x_{p}(t)=x_{p1}(t)+x_{p2}(t)+x_{p3}(t).
Substituindo os resultados obtidos:
x_{p}(t)=\frac{2}{15}t^{5}-\frac{2}{9}t^{4}+\frac{8}{27}t^{3}-\frac{8}{27}t^{2}+\frac{16}{81}t + e^{-3t}\!\left(-\frac{1}{9}t^{3} -\frac{1}{9}t^{2} -\frac{2}{27}t\right) -\frac{1}{18}\big(\cos(3t)+\sin(3t)\big).

Resposta

x_{p1}(t)=\dfrac{2}{15}t^{5}-\dfrac{2}{9}t^{4}+\dfrac{8}{27}t^{3}-\dfrac{8}{27}t^{2}+\dfrac{16}{81}t
x_{p2}(t)=e^{-3t}\!\left(-\dfrac{1}{9}t^{3}-\dfrac{1}{9}t^{2}-\dfrac{2}{27}t\right)
x_{p3}(t)=-\dfrac{1}{18}\big(\cos(3t)+\sin(3t)\big)
x_{p}(t)=\dfrac{2}{15}t^{5}-\dfrac{2}{9}t^{4}+\dfrac{8}{27}t^{3}-\dfrac{8}{27}t^{2}+\dfrac{16}{81}t+e^{-3t}\!\left(-\dfrac{1}{9}t^{3}-\dfrac{1}{9}t^{2}-\dfrac{2}{27}t\right)-\dfrac{1}{18}\big(\cos(3t)+\sin(3t)\big)

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