Suponha
. Prove que se
converge (ou diverge) então
converge (ou diverge) ([Fi1] p.40, no.17).
Passo 1
O enunciado dá que
para todo
e pede para provar duas coisas (duas implicações separadas):
- Se
converge então converge. - Se
diverge então diverge.
As informações relevantes: todos os termos são positivos (); as séries envolvidas têm termos não-negativos, então podemos usar testes de comparação e propriedades simples (por exemplo: se uma série de termos positivos converge então seus termos vão a zero).
Passo 2
Lembrando duas ferramentas básicas que vamos usar (dou uma explicação rápida de cada):
- Teorema da comparação (para séries de termos não-negativos): se
para todo e converge, então também converge. Intuição: cada termo de é menor ou igual ao correspondente de , logo as somas parciais de ficam sempre abaixo das de . - Um fato simples sobre séries convergentes de termos positivos: se
converge com , então necessariamente . Vou usar isso para saber que, no caso convergente, os ficam pequenos a partir de um certo índice.
Passo 3
Prova da primeira implicação: se
converge então
converge.
Como converge e
, temos
. Logo existe
tal que, para todo
, temos
. Para esses
vale:
Como
Portanto, para
os termos
são majorados por
. Como
converge, a cauda
também converge; pela comparação,
converge. Adicionando um número finito de termos (os índices
) não altera a convergência, logo
converge. (Concluímos a primeira parte.)
Passo 4
Prova da segunda implicação: se
diverge então
diverge.
Aqui é útil separar dois casos, que cobrem todas as possibilidades.
Aqui é útil separar dois casos, que cobrem todas as possibilidades.
Caso A — existem infinitos
tais que
.
Escolha uma subsequência de índices com
para todo
. Para cada tal
temos
Escolha uma subsequência de índices
Assim a soma dos termos correspondentes na série
contém infinitos termos maiores ou iguais a
; portanto essa soma parcial cresce sem limite e a série diverge.
Caso B — apenas finitamente muitos
têm
.
Então existe tal que, para todo
, temos
. Para esses
vale
, de onde
Então existe
Como por hipótese
diverge, a cauda
também diverge; pela desigualdade acima, a cauda
domina
e, portanto, diverge. Adicionar os poucos termos iniciais não muda a divergência, logo
diverge.
Nos dois casos a divergência de
implica a divergência de
.
Passo 5
Concluímos as duas implicações com argumentos simples por comparação e por análise dos dois comportamentos possíveis dos termos
. Moral da história: para
a série
e a série
têm o mesmo comportamento quanto à convergência/divergência — ou seja, se uma converge a outra também converge; se uma diverge a outra também diverge.
Resposta
Se
converge então
converge.
Se diverge então
diverge.
Se