Suponha x_{n}>0. Prove que se \sum x_{n} converge (ou diverge) então \sum \frac{x_{n}}{1+x_{n}} converge (ou diverge) ([Fi1] p.40, no.17).

Passo 1

O enunciado dá que x_{n}>0 para todo n e pede para provar duas coisas (duas implicações separadas):
  1. Se \sum x_{n} converge então \sum \dfrac{x_{n}}{1+x_{n}} converge.
  2. Se \sum x_{n} diverge então \sum \dfrac{x_{n}}{1+x_{n}} diverge.
    As informações relevantes: todos os termos são positivos ( x_n>0); as séries envolvidas têm termos não-negativos, então podemos usar testes de comparação e propriedades simples (por exemplo: se uma série de termos positivos converge então seus termos vão a zero).

Passo 2

Lembrando duas ferramentas básicas que vamos usar (dou uma explicação rápida de cada):
  • Teorema da comparação (para séries de termos não-negativos): se 0\le a_n\le b_n para todo n e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. Intuição: cada termo de a_n é menor ou igual ao correspondente de b_n, logo as somas parciais de a_n ficam sempre abaixo das de b_n.
  • Um fato simples sobre séries convergentes de termos positivos: se \sum x_n converge com x_n\ge0, então necessariamente x_n\to 0. Vou usar isso para saber que, no caso convergente, os x_n ficam pequenos a partir de um certo índice.

Passo 3

Prova da primeira implicação: se \sum x_{n} converge então \sum \dfrac{x_{n}}{1+x_{n}} converge.
Como \sum x_n converge e x_n\ge0, temos x_n\to 0. Logo existe N tal que, para todo n\ge N, temos x_n<1. Para esses n vale:
1+x_n \ge 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x_n}{1+x_n}\le x_n.
Portanto, para n\ge N os termos \dfrac{x_n}{1+x_n} são majorados por x_n. Como \sum_{n=1}^\infty x_n converge, a cauda \sum_{n=N}^\infty x_n também converge; pela comparação, \sum_{n=N}^\infty \dfrac{x_n}{1+x_n} converge. Adicionando um número finito de termos (os índices 1,\dots,N-1) não altera a convergência, logo \sum_{n=1}^\infty \dfrac{x_n}{1+x_n} converge. (Concluímos a primeira parte.)

Passo 4

Prova da segunda implicação: se \sum x_{n} diverge então \sum \dfrac{x_{n}}{1+x_{n}} diverge.
Aqui é útil separar dois casos, que cobrem todas as possibilidades.
Caso A — existem infinitos n tais que x_n\ge 1.
Escolha uma subsequência de índices (n_k) com x_{n_k}\ge1 para todo k. Para cada tal n_k temos
\frac{x_{n_k}}{1+x_{n_k}} = 1 - \frac{1}{1+x_{n_k}} \ge 1 - \frac{1}{1+1} = 1 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}.
Assim a soma dos termos correspondentes na série \sum \dfrac{x_n}{1+x_n} contém infinitos termos maiores ou iguais a \tfrac{1}{2}; portanto essa soma parcial cresce sem limite e a série diverge.
Caso B — apenas finitamente muitos n têm x_n\ge1.
Então existe N tal que, para todo n\ge N, temos 0<x_n<1. Para esses n vale 1+x_n\le 2, de onde
\frac{x_n}{1+x_n} \ge \frac{x_n}{2}.
Como por hipótese \sum x_n diverge, a cauda \sum_{n=N}^\infty x_n também diverge; pela desigualdade acima, a cauda \sum_{n=N}^\infty \dfrac{x_n}{1+x_n} domina \tfrac{1}{2}\sum_{n=N}^\infty x_n e, portanto, diverge. Adicionar os poucos termos iniciais não muda a divergência, logo \sum \dfrac{x_n}{1+x_n} diverge.
Nos dois casos a divergência de \sum x_n implica a divergência de \sum \dfrac{x_n}{1+x_n}.

Passo 5

Concluímos as duas implicações com argumentos simples por comparação e por análise dos dois comportamentos possíveis dos termos x_n. Moral da história: para x_n>0 a série \sum x_n e a série \sum \dfrac{x_n}{1+x_n} têm o mesmo comportamento quanto à convergência/divergência — ou seja, se uma converge a outra também converge; se uma diverge a outra também diverge.

Resposta

Se \sum x_{n} converge então \sum \dfrac{x_{n}}{1+x_{n}} converge.
Se \sum x_{n} diverge então \sum \dfrac{x_{n}}{1+x_{n}} diverge.

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