Determine, segundo o valor do parâmetro
, a natureza da série
Passo 1
O enunciado dá a série com termos positivos
onde o parâmetro satisfaz
. A pergunta é: dependendo do valor de
, qual é a natureza da série (ou seja, para quais
ela converge e para quais diverge)?\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- O termo geral é
. - Todos os termos são não negativos (logo não há sutilidade entre convergência condicional e absoluta: se converge, é convergência absoluta).
- Precisamos classificar a série para todos os valores de
.
Passo 2
Escolha do método de resolução: como o termo geral envolve fatoriais
e
, o teste da razão (teste de D’Alembert) é a arma natural: ele lida bem com fatoriais porque simplifica razões de fatoriais. Vou aplicar o teste da razão e, se o caso limite for inconclusivo (
), farei uma análise assintótica mais fina (usando a conhecida aproximação para o coeficiente binomial central ou a fórmula de Stirling) para o caso crítico. Esta escolha é direta e prática para fazer no tempo de prova.
Passo 3
Explicação do teste da razão (D’Alembert) que vou usar: seja uma série de termos positivos
. Se existir o limite
então
- se
, a série converge; - se
, a série diverge; - se
, o teste é inconclusivo (precisamos de outro argumento).\n
Intuitivamente, se a razão tende a um número menor que 1, paragrande cada termo é (aproximadamente) uma constante menor que 1 vezes o anterior — comportamento geométrico decrescente que garante convergência; se a razão tende a maior que 1, os termos não tendem a zero e a série diverge.
Passo 4
Calcule a razão
. Começo com
Agora a razão:
Simplifico passo a passo:
e
, então
Como
, fica
Passo 5
Compute o limite da razão quando
:
Aplicando o teste da razão:
- se
, ou seja , a série converge; - se
, ou seja , a série diverge; - se
, ou seja , o teste é inconclusivo e precisamos analisar o caso separadamente.
Passo 6
Análise do caso crítico
. Para
o termo geral é
Se a série convergisse, em particular o termo geral deveria tender a zero. Vou estudar o comportamento assintótico de
quando
. Uma forma padrão e rápida é usar a aproximação assintótica do coeficiente binomial central
que vem da fórmula de Stirling; aqui o símbolo
significa que o quociente entre os dois lados tende a
quando
.
Passo 7
Usando a aproximação do passo anterior, para
temos
Como
, segue que
Portanto
tende a
(e, em particular, não tende a zero). Se o termo geral não tende a zero, a série não pode convergir. Logo para
a série diverge.
Observação didática curta sobre Stirling (sem prova completa): a fórmula de Stirling diz
e aplicando-a aos fatoriais em
obtém-se a mesma estimativa
, que conduz à conclusão anterior.
Passo 8
Conclusão combinando os resultados dos passos anteriores:
- Para
: o limite da razão é , logo a série converge (e, como os termos são positivos, é convergência absoluta). - Para
: o limite da razão é , logo a série diverge (os termos não tendem a zero). - Para
: análise assintótica mostra , logo e a série diverge.