Determine, segundo o valor do parâmetro a>0, a natureza da série
\sum \frac{(n!)^{2}}{(2 n)!} a^{n}

Passo 1

O enunciado dá a série com termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{(2n)!}\,a^{n},
onde o parâmetro satisfaz \;a>0. A pergunta é: dependendo do valor de \;a>0, qual é a natureza da série (ou seja, para quais a ela converge e para quais diverge)?\n
Informações relevantes dadas:
  • O termo geral é \;u_{n}=\dfrac{(n!)^{2}}{(2n)!}\,a^{n}.
  • Todos os termos são não negativos (logo não há sutilidade entre convergência condicional e absoluta: se converge, é convergência absoluta).
  • Precisamos classificar a série para todos os valores de \;a>0.

Passo 2

Escolha do método de resolução: como o termo geral envolve fatoriais \;n! e (2n)!, o teste da razão (teste de D’Alembert) é a arma natural: ele lida bem com fatoriais porque simplifica razões de fatoriais. Vou aplicar o teste da razão e, se o caso limite for inconclusivo ( \lim=1), farei uma análise assintótica mais fina (usando a conhecida aproximação para o coeficiente binomial central ou a fórmula de Stirling) para o caso crítico. Esta escolha é direta e prática para fazer no tempo de prova.

Passo 3

Explicação do teste da razão (D’Alembert) que vou usar: seja uma série de termos positivos \sum u_n. Se existir o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n},
então
  • se \;L<1, a série converge;
  • se \;L>1, a série diverge;
  • se \;L=1, o teste é inconclusivo (precisamos de outro argumento).\n
    Intuitivamente, se a razão tende a um número menor que 1, para n grande cada termo é (aproximadamente) uma constante menor que 1 vezes o anterior — comportamento geométrico decrescente que garante convergência; se a razão tende a maior que 1, os termos não tendem a zero e a série diverge.

Passo 4

Calcule a razão \dfrac{u_{n+1}}{u_n}. Começo com
u_{n}=\frac{(n!)^{2}}{(2n)!}\,a^{n}, \qquad u_{n+1}=\frac{((n+1)!)^{2}}{(2n+2)!}\,a^{\,n+1}.
Agora a razão:
\frac{u_{n+1}}{u_n} = a\cdot\frac{((n+1)!)^{2}}{(2n+2)!}\cdot\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}.
Simplifico passo a passo: (n+1)!=(n+1)n! e 2n+2=2(n+1), então
\frac{u_{n+1}}{u_n} = a\cdot\frac{(n+1)^{2}(n!)^{2}}{(2n+2)(2n+1)(2n)!}\cdot\frac{(2n)!}{(n!)^{2}} = a\cdot\frac{(n+1)^{2}}{(2n+2)(2n+1)}.
Como (2n+2)=2(n+1), fica
\frac{u_{n+1}}{u_n} = a\cdot\frac{(n+1)^{2}}{2(n+1)(2n+1)} = a\cdot\frac{n+1}{4n+2}.

Passo 5

Compute o limite da razão quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n\to\infty} a\cdot\frac{n+1}{4n+2} = a\cdot\frac{1}{4} = \frac{a}{4}.
Aplicando o teste da razão:
  • se \dfrac{a}{4}<1, ou seja \;a<4, a série converge;
  • se \dfrac{a}{4}>1, ou seja \;a>4, a série diverge;
  • se \dfrac{a}{4}=1, ou seja \;a=4, o teste é inconclusivo e precisamos analisar o caso a=4 separadamente.

Passo 6

Análise do caso crítico \;a=4. Para \;a=4 o termo geral é
u_n=\frac{(n!)^{2}}{(2n)!}\,4^{n}.
Se a série convergisse, em particular o termo geral deveria tender a zero. Vou estudar o comportamento assintótico de u_n quando a=4. Uma forma padrão e rápida é usar a aproximação assintótica do coeficiente binomial central
\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\sim \frac{4^{n}}{\sqrt{\pi n}} \qquad(n\to\infty),
que vem da fórmula de Stirling; aqui o símbolo \sim significa que o quociente entre os dois lados tende a 1 quando n\to\infty.

Passo 7

Usando a aproximação do passo anterior, para \;a=4 temos
u_n=\frac{(n!)^{2}}{(2n)!}\,4^{n}=\frac{4^{n}}{\binom{2n}{n}}.
Como \binom{2n}{n}\sim \dfrac{4^{n}}{\sqrt{\pi n}}, segue que
u_n \sim \frac{4^{n}}{\,\dfrac{4^{n}}{\sqrt{\pi n}}\,}=\sqrt{\pi n}\qquad(n\to\infty).
Portanto u_n tende a +\infty (e, em particular, não tende a zero). Se o termo geral não tende a zero, a série não pode convergir. Logo para \;a=4 a série diverge.
Observação didática curta sobre Stirling (sem prova completa): a fórmula de Stirling diz
n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n},
e aplicando-a aos fatoriais em \dfrac{(n!)^{2}}{(2n)!} obtém-se a mesma estimativa \dfrac{(n!)^{2}}{(2n)!}\sim \dfrac{\sqrt{\pi n}}{4^{n}}, que conduz à conclusão anterior.

Passo 8

Conclusão combinando os resultados dos passos anteriores:
  • Para \;0<a<4: o limite da razão é \dfrac{a}{4}<1, logo a série converge (e, como os termos são positivos, é convergência absoluta).
  • Para \;a>4: o limite da razão é \dfrac{a}{4}>1, logo a série diverge (os termos não tendem a zero).
  • Para \;a=4: análise assintótica mostra u_n\sim\sqrt{\pi n}, logo u_n\not\to 0 e a série diverge.

Resposta

0<a<4: a série converge (convergência absoluta).
a\ge 4: a série diverge.

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