Determine à forma reduzida e a cônica representada pela equação:
(d) 2 x^{2}+3 x y+4 y^{2}+2 x-3 y+5=0

Passo 1

O enunciado pede a forma reduzida (canônica) e a identificação da cônica dada pela equação
2x^{2} + 3xy + 4y^{2} + 2x - 3y + 5 = 0.
O conteúdo é análise de cônicas gerais: classificação pelo discriminante, cálculo do centro por translação para eliminar termos lineares e rotação para eliminar o termo misto xy.

Passo 2

Classificação inicial. Na forma geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\dots=0 temos
A=2,\quad B=3,\quad C=4.
O discriminante é
\Delta = B^{2}-4AC = 3^{2}-4\cdot2\cdot4 = 9-32 = -23 < 0,
logo a cônica é uma elipse (possivelmente degenerada ou sem pontos reais).

Passo 3

Cálculo do centro. Defina
F(x,y)=2x^{2}+3xy+4y^{2}+2x-3y+5
e resolva
\frac{\partial F}{\partial x}=4x+3y+2=0,\qquad \frac{\partial F}{\partial y}=3x+8y-3=0.
Esse sistema dá
x_{c}=-\frac{25}{23},\quad y_{c}=\frac{18}{23}.
Faça a translação
x = X + x_{c},\quad y = Y + y_{c},
onde o termo constante resultante é
\Delta_{0} \;=\; F(x_{c},y_{c}) \;=\;\frac{1449}{529}.
Então a equação vira
2X^{2} + 3\,X\,Y + 4Y^{2} + \frac{1449}{529} = 0.

Passo 4

Eliminação do termo misto por rotação. A forma quadrática em (X,Y) corresponde à matriz
M = \begin{pmatrix}2 & \tfrac{3}{2}\\[6pt]\tfrac{3}{2} & 4\end{pmatrix}.
Seus autovalores são
\lambda_{1,2} = \frac{\Tr M \pm \sqrt{(\Tr M)^{2} - 4\det M}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4\bigl(2\cdot4 - (\tfrac{3}{2})^{2}\bigr)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{13}}{2}.
Escolhendo o sistema principal (U,V) que diagonaliza M, a equação no novo referencial fica
\lambda_{1}\,U^{2} \;+\;\lambda_{2}\,V^{2}\;+\;\frac{1449}{529}\;=\;0,
com
\lambda_{1} = \frac{6 + \sqrt{13}}{2}, \quad \lambda_{2} = \frac{6 - \sqrt{13}}{2}.]

Resposta

A forma reduzida (canônica) da cônica é
\frac{6 + \sqrt{13}}{2}\,U^{2} \;+\;\frac{6 - \sqrt{13}}{2}\,V^{2} \;+\;\frac{1449}{529} \;=\;0,
e, como \Delta<0 e o termo constante centralizado \tfrac{1449}{529}>0, trata-se de uma elipse imaginária (nenhum ponto real satisfaz a equação).

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