Determine à forma reduzida e a cônica representada pela equação:
(h) 6 x^{2}+2 \sqrt{(3)} x y+8 y^{2}-45=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação geral
6x^{2} + 2\sqrt{3}\,xy + 8y^{2} - 45 = 0
Queremos descobrir que tipo de cônica isso representa e escrever sua forma reduzida (canônica) por meio de uma rotação de eixos, eliminando o termo em xy.

Passo 2

Para classificar a cônica, calculamos o discriminante \Delta = B^{2} - 4AC, onde na forma geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\dots=0 temos A=6, B=2\sqrt{3}, C=8.
\Delta = (2\sqrt{3})^{2} - 4\cdot 6\cdot 8 = 12 - 192 = -180 < 0.
Como \Delta<0 e não há termo linear, trata-se de uma elipse centrada na origem.

Passo 3

Para eliminar o termo misto xy, usamos a rotação de eixos
x = X\cos\theta - Y\sin\theta,\qquad y = X\sin\theta + Y\cos\theta,
onde \theta satisfaz
\tan2\theta = \frac{B}{A-C} = \frac{2\sqrt{3}}{6-8} = -\sqrt{3}.
Logo
2\theta = -\frac{\pi}{3}\quad\Longrightarrow\quad \theta = -\frac{\pi}{6}.

Passo 4

Podemos calcular os coeficientes nos eixos X,Y por
A' = \frac{A+C}{2} + \frac{A-C}{2}\cos2\theta + \frac{B}{2}\sin2\theta,
C' = \frac{A+C}{2} - \frac{A-C}{2}\cos2\theta - \frac{B}{2}\sin2\theta.
Com A=6, B=2\sqrt{3}, C=8, \cos2\theta=\tfrac12, \sin2\theta=-\tfrac{\sqrt3}{2}, obtemos
A' = 7 - 1\cdot\frac12 - \sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 7 - \tfrac12 - \tfrac{3}{2} = 5,
C' = 7 + \tfrac12 + \tfrac{3}{2} = 9.
O termo misto some e a constante segue -45.

Passo 5

A equação em X,Y fica
5X^{2} + 9Y^{2} - 45 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 5X^{2} + 9Y^{2} = 45 \quad\Longrightarrow\quad \frac{X^{2}}{9} + \frac{Y^{2}}{5} = 1.

Passo 6

Esta é a forma reduzida de uma elipse centrada na origem de eixos X,Y, com semieixos
a = 3,\quad b = \sqrt{5},
e eixos principais obtidos girando os eixos originais x,y por \theta = -\tfrac{\pi}{6} (isto é, 30^\circ no sentido horário).

Resposta

A cônica é uma elipse.
Sua forma reduzida, em coordenadas rotacionadas
x = X\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr) - Y\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr),\qquad y = X\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr) + Y\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr),
é
\frac{X^{2}}{9} + \frac{Y^{2}}{5} = 1.

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