Determine à forma reduzida e a cônica representada pela equação:
(c) 17 x^{2}-12 x y+8 y^{2}-68 x+24 y-12=0
Passo 1
O enunciado pede a forma reduzida (canônica) e a identificação da cônica dada por
17x^{2}-12xy+8y^{2}-68x+24y-12=0.
O conteúdo envolvido é classificação de cônicas a partir do discriminante de Ax^2+Bxy+Cy^2+\cdots=0, remoção dos termos lineares por translação de eixos e eliminação do termo misto xy por rotação de eixos.
Como \Delta<0 e A e C têm mesmo sinal, trata-se de uma elipse.
Passo 3
Para remover os termos lineares, achamos o centro (h,k)\) resolvendo
\[\frac{\partial}{\partial x}(17x^2-12xy+8y^2-68x+24y-12)=0, \quad \frac{\partial}{\partial y}(\cdots)=0,
A solução é ((h,k)=(2,0)]. Definimos X = x - 2,\quad Y = y.
Substituindo, a equação fica 17X^2 -12XY +8Y^2 -80 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 17X^2 -12XY +8Y^2 = 80.
Passo 4
O termo misto XY é eliminado por rotação. A forma quadrática em (X,Y) tem matriz
M = \begin{pmatrix}17 & -6\\\\ -6 & 8\end{pmatrix},
cujos autovalores são \lambda_1=20 e \lambda_2=5. Em coordenadas principais (u,v), a equação torna-se