Determine à forma reduzida e a cônica representada pela equação:
(c) 17 x^{2}-12 x y+8 y^{2}-68 x+24 y-12=0

Passo 1

O enunciado pede a forma reduzida (canônica) e a identificação da cônica dada por
17x^{2}-12xy+8y^{2}-68x+24y-12=0.
O conteúdo envolvido é classificação de cônicas a partir do discriminante de Ax^2+Bxy+Cy^2+\cdots=0, remoção dos termos lineares por translação de eixos e eliminação do termo misto xy por rotação de eixos.

Passo 2

Classificamos a cônica calculando o discriminante
\Delta = B^2 - 4AC = (-12)^2 - 4\cdot17\cdot8 = 144 - 544 = -400 < 0.
Como \Delta<0 e A e C têm mesmo sinal, trata-se de uma elipse.

Passo 3

Para remover os termos lineares, achamos o centro (h,k)\) resolvendo \[\frac{\partial}{\partial x}(17x^2-12xy+8y^2-68x+24y-12)=0, \quad \frac{\partial}{\partial y}(\cdots)=0,
isto é
\begin{cases} 34x-12y-68=0,\\\\ -12x+16y+24=0. \end{cases}
A solução é ((h,k)=(2,0)]. Definimos
X = x - 2,\quad Y = y.
Substituindo, a equação fica
17X^2 -12XY +8Y^2 -80 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 17X^2 -12XY +8Y^2 = 80.

Passo 4

O termo misto XY é eliminado por rotação. A forma quadrática em (X,Y) tem matriz
M = \begin{pmatrix}17 & -6\\\\ -6 & 8\end{pmatrix},
cujos autovalores são \lambda_1=20 e \lambda_2=5. Em coordenadas principais (u,v), a equação torna-se
\lambda_1\,u^2 + \lambda_2\,v^2 = 80 \quad\Longleftrightarrow\quad 20\,u^2 + 5\,v^2 = 80.
Dividindo por 80 vem
\frac{u^2}{4} + \frac{v^2}{16} = 1.
A rotação que leva (X,Y) em (u,v) satisfaz
\tan(2\theta) = \frac{B}{A-C} = \frac{-12}{17-8} = -\frac{4}{3}.

Resposta

A cônica é uma elipse de centro (2,0) e eixo principal obtido pela rotação de ângulo \theta com \tan(2\theta)=-4/3.
A forma reduzida (canônica) é
\frac{u^2}{4} + \frac{v^2}{16} = 1.

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