Determine à forma reduzida e a cônica representada pela equação:
(a) 9 x^{2}+4 x y+6 y^{2}+12 x+36 y+44=0

Passo 1

O enunciado pede a forma reduzida e a identificação da cônica dada por
9x^{2}+4xy+6y^{2}+12x+36y+44=0.
O procedimento geral é:
  1. encontrar o centro resolvendo \partial f/\partial x=0 e \partial f/\partial y=0;
  2. fazer a translação de eixos para anular os termos lineares;
  3. eliminar o termo misto uv por rotação de eixos (diagonalizar a forma quadrática);
  4. dividir pelo termo independente para obter a forma reduzida;
  5. ler a classificação (elipse, parábola ou hipérbole).

Passo 2

Calculamos o centro (x_{0},y_{0}) resolvendo
\frac{\partial}{\partial x}(9x^{2}+4xy+6y^{2}+12x+36y+44)=18x+4y+12=0,
\frac{\partial}{\partial y}(9x^{2}+4xy+6y^{2}+12x+36y+44)=4x+12y+36=0.
Em forma matricial \begin{pmatrix}18&4\\\ 4&12\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}12\\\ 36\end{pmatrix}.
Pelo método de Cramer obtemos
x_{0}=0,\quad y_{0}=-3.

Passo 3

Fazendo a translação
x = u + x_{0}=u,\qquad y = v + y_{0}=v-3,
e substituindo na equação original, cancelam-se todos os termos lineares e constantes, sobrando apenas a parte quadrática e o termo independente ajustado. O resultado é
9u^{2}+4uv+6v^{2}=10.

Passo 4

Para eliminar o termo misto 4uv diagonalizamos a forma quadrática
Q(u,v)=9u^{2}+4uv+6v^{2}.
Os autovalores de Q vêm da equação
\det\begin{pmatrix}9-\lambda&2\\\ 2&6-\lambda\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\; \lambda^{2}-15\lambda+50=0 \;\Longrightarrow\; \lambda_{1}=10,\;\lambda_{2}=5.
Chama-se X,Y as coordenadas na base própria (rotacionada) de modo que
Q(u,v)=10\,X^{2}+5\,Y^{2}.
A rotação satisfaz \tan2\theta=\tfrac{4}{9-6}=\tfrac{4}{3}, mas não precisamos do valor numérico de \theta para escrever a forma reduzida.

Passo 5

Na base (X,Y) a equação centrada e sem termo misto fica
10\,X^{2}+5\,Y^{2}=10.
Dividindo ambos os lados por 10 obtemos a forma reduzida
\frac{X^{2}}{1}+\frac{Y^{2}}{2}=1.

Resposta

A cônica é uma elipse cuja forma reduzida, em coordenadas centrais e de eixos próprios, é
\frac{X^{2}}{1}+\frac{Y^{2}}{2}=1.

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