Determine à forma reduzida e a cônica representada pela equação:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede a forma reduzida e a identificação da cônica dada por
O procedimento geral é:
- encontrar o centro resolvendo
e ; - fazer a translação de eixos para anular os termos lineares;
- eliminar o termo misto
por rotação de eixos (diagonalizar a forma quadrática); - dividir pelo termo independente para obter a forma reduzida;
- ler a classificação (elipse, parábola ou hipérbole).
Passo 2
Calculamos o centro
resolvendo
Em forma matricial
.
Pelo método de Cramer obtemos
Pelo método de Cramer obtemos
Passo 3
Fazendo a translação
e substituindo na equação original, cancelam-se todos os termos lineares e constantes, sobrando apenas a parte quadrática e o termo independente ajustado. O resultado é
Passo 4
Para eliminar o termo misto
diagonalizamos a forma quadrática
Os autovalores de
vêm da equação
Chama-se
as coordenadas na base própria (rotacionada) de modo que
A rotação satisfaz
, mas não precisamos do valor numérico de
para escrever a forma reduzida.
Passo 5
Na base
a equação centrada e sem termo misto fica
Dividindo ambos os lados por
obtemos a forma reduzida
Resposta
A cônica é uma elipse cuja forma reduzida, em coordenadas centrais e de eixos próprios, é