Escreva a equação da hipérbole na forma reduzida e determine as interseções com os eixos coordenados.
(f) 25 y^{2}-16 x^{2}=400

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
25\,y^{2} - 16\,x^{2} = 400
e pede (1) a equação na forma reduzida e (2) as interseções com os eixos coordenados. Vamos usar a definição de forma reduzida de hipérbole e em seguida impor x=0 ou y=0 para achar os pontos de interseção.

Passo 2

Para colocar na forma reduzida, dividimos ambos os lados de
25\,y^{2} - 16\,x^{2} = 400
por 400:
\frac{25\,y^{2}}{400} \;-\;\frac{16\,x^{2}}{400} \;=\;1
e simplificamos cada fração:
\frac{y^{2}}{16} \;-\;\frac{x^{2}}{25} \;=\;1.

Passo 3

Da forma
\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{25} = 1
vemos que a^{2}=16 e b^{2}=25, logo a=4 e b=5. Como o termo positivo é o de y^{2}, a hipérbole tem eixo transverse vertical (abre para cima e para baixo).

Passo 4

Para as interseções com os eixos, procedemos assim:
  1. Eixo x y=0:
25\cdot 0^{2} - 16\,x^{2} = 400 \quad\Longrightarrow\quad -16\,x^{2} = 400 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = -25,
sem solução real, ou seja, não há interseções reais com o eixo x.
  1. Eixo y x=0:
25\,y^{2} - 16\cdot 0^{2} = 400 \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = 16 \quad\Longrightarrow\quad y = \pm 4.
As interseções com o eixo y são (0,4) e (0,-4).

Resposta

A forma reduzida da hipérbole é
\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{25} = 1.
Não há interseções com o eixo x. As interseções com o eixo y são (0,4) e (0,-4).

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