Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre equações diferenciais! O que a gente precisa fazer aqui é determinar a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e entender como calcular o Wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. É uma ferramenta que nos ajuda a verificar se duas soluções de uma equação diferencial são linearmente independentes. Para uma equação diferencial de segunda ordem da forma:
o Wronskiano $ W(t) $ satisfaz a seguinte equação:
Então, nossa missão é colocar a equação dada nessa forma padrão.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação diferencial fornecida para ficar no formato padrão. A equação dada é:
Para deixar na forma $ y’’ + P(t) y’ + Q(t) y = 0 $, dividimos todos os termos por $ \cos t $:
Simplificando, temos:
Assim, identificamos que:
Passo 4
Agora que temos $ P(t) = \tan t $, usamos a equação que relaciona o Wronskiano com $ P(t) $:
Essa é uma equação diferencial simples para $ W(t) $.
Passo 5
Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar $ W(t) $. Reescrevemos:
Integrando ambos os lados:
O lado esquerdo integra para $ \ln |W(t)| $ e o lado direito para $ \ln |\cos t| $ (já que $ \int \tan t , dt = -\ln |\cos t| $):
Exponentiando ambos os lados para resolver para $ W(t) $:
onde $ C $ é uma constante.
Resposta
A forma do Wronskiano é $ c \cos t $.