Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
(cos t) y^prime prime+(sen t) y^prime-t y=0
Escolha uma opção:
c e^t sen t
Nenhuma das demais alternativas
c t^2 e^t
ct
c1-t^2
c cos t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre equações diferenciais! O que a gente precisa fazer aqui é determinar a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e entender como calcular o Wronskiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. É uma ferramenta que nos ajuda a verificar se duas soluções de uma equação diferencial são linearmente independentes. Para uma equação diferencial de segunda ordem da forma:
y'' + P(t) y' + Q(t) y = 0
o Wronskiano $ W(t) $ satisfaz a seguinte equação:
W(t)
Então, nossa missão é colocar a equação dada nessa forma padrão.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação diferencial fornecida para ficar no formato padrão. A equação dada é:
(cos t) y'' + (sin t) y' - t y = 0
Para deixar na forma $ y’’ + P(t) y’ + Q(t) y = 0 $, dividimos todos os termos por $ \cos t $:
y'' + P(t) y' + Q(t) y = 0
Simplificando, temos:
cos t
Assim, identificamos que:
y'' + (sin tcos t) y' - (tcos t) y = 0

Passo 4

Agora que temos $ P(t) = \tan t $, usamos a equação que relaciona o Wronskiano com $ P(t) $:
P(t) = tan t
Essa é uma equação diferencial simples para $ W(t) $.

Passo 5

Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar $ W(t) $. Reescrevemos:
W(t)
Integrando ambos os lados:
W'(t)W(t) = -tan t
O lado esquerdo integra para $ \ln |W(t)| $ e o lado direito para $ \ln |\cos t| $ (já que $ \int \tan t , dt = -\ln |\cos t| $):
integral W'(t)W(t) , dt = -integral tan t , dt
Exponentiando ambos os lados para resolver para $ W(t) $:
ln |W(t)|
onde $ C $ é uma constante.

Resposta

A forma do Wronskiano é $ c \cos t $.

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