Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial: e^2 t y^prime prime+3 e^2 t y^prime+y=0
Escolha uma opção:
c e^t^2
c e^-t^2 / 2
c e^tt
c t^2 e^t
Nenhuma das demais alternativas
c e^-3 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial e^2 t y'' + 3 e^2 t y' + y = 0 . Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o Wronskiano usando a fórmula apropriada para equações dessa forma.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação diferencial em uma forma mais simples. A equação dada é:
e^2 t y'' + 3 e^2 t y' + y = 0
Para facilitar, vamos dividir todos os termos por e^2 t :
y'' + 3 y' + e^-2 t y = 0
Agora temos a equação na forma padrão:
y'' + P(t) y' + Q(t) y = 0
onde P(t) = 3 e Q(t) = e^-2 t .

Passo 3

O Wronskiano W(t) de duas soluções de uma equação diferencial linear de segunda ordem satisfaz a seguinte relação:
W'(t) = -P(t) W(t)
Isso vem da teoria das equações diferenciais, onde o Wronskiano mede a linearidade das soluções.

Passo 4

Substituindo P(t) = 3 na equação do Wronskiano, temos:
W'(t) = -3 W(t)
Essa é uma equação diferencial simples que podemos resolver para W(t) .

Passo 5

Para resolver W'(t) = -3 W(t) , fazemos a separação de variáveis:
dWW = -3 dt
Integrando ambos os lados:
ln |W| = -3 t + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Exponenciando ambos os lados para resolver para W :
W = e^-3 t + C = e^C e^-3 t
Podemos escrever e^C como uma nova constante c , então:
W(t) = c e^-3 t

Resposta

A forma do Wronskiano é W(t) = c e^-3 t .

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