Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
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Nenhuma das demais alternativas
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial
. Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o Wronskiano usando a fórmula apropriada para equações dessa forma.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação diferencial em uma forma mais simples. A equação dada é:
Para facilitar, vamos dividir todos os termos por
:
Agora temos a equação na forma padrão:
onde
e
.
Passo 3
O Wronskiano
de duas soluções de uma equação diferencial linear de segunda ordem satisfaz a seguinte relação:
Isso vem da teoria das equações diferenciais, onde o Wronskiano mede a linearidade das soluções.
Passo 4
Substituindo
na equação do Wronskiano, temos:
Essa é uma equação diferencial simples que podemos resolver para
.
Passo 5
Para resolver
, fazemos a separação de variáveis:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Podemos escrever
como uma nova constante
, então:
Resposta
A forma do Wronskiano é
.