(10 pontos) Considere a função f(x)=x^4-x^2+2 x-1. Mostre que f tem pelo menos uma raiz.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x) = x^4 - x^2 + 2x - 1 e precisa mostrar que ela tem pelo menos uma raiz, ou seja, que existe algum valor de x onde f(x) = 0 . Pra resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que é uma ferramenta super útil nas funções contínuas para garantir a existência de raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os valores da função em dois pontos diferentes para ver como ela se comporta. Vamos começar com x = 0 e x = 1 .
  • Para x = 0 :
f(0) = (0)^4 - (0)^2 + 2 times 0 - 1 = 0 - 0 + 0 - 1 = -1
  • Para x = 1 :
f(1) = (1)^4 - (1)^2 + 2 times 1 - 1 = 1 - 1 + 2 - 1 = 1
Então, temos f(0) = -1 e f(1) = 1 .

Passo 3

Agora, precisamos ver se a função é contínua nesse intervalo de x . Uma função é contínua se não tem “pulos” ou “buracos”. No caso, nossa função f(x) é um polinômio, e sabemos que polinômios são contínuos em todo o seu domínio. Isso significa que entre quaisquer dois pontos, a função não faz saltos.

Passo 4

Com isso em mente, vamos aplicar o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema diz que se uma função é contínua em um intervalo [a, b] e os valores em a e b são de sinais opostos (um positivo e outro negativo), então existe pelo menos um ponto c em (a, b) onde f(c) = 0 .
No nosso caso:
  • f(0) = -1 (negativo)
  • f(1) = 1 (positivo)
Como os sinais são opostos e a função é contínua entre 0 e 1, pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos um x no intervalo (0, 1) onde f(x) = 0 .

Resposta

Então, concluímos que a função f(x) = x^4 - x^2 + 2x - 1 tem pelo menos uma raiz no intervalo (0, 1).

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