(10 pontos) Considere a função
. Mostre que
tem pelo menos uma raiz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa mostrar que ela tem pelo menos uma raiz, ou seja, que existe algum valor de
onde
. Pra resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que é uma ferramenta super útil nas funções contínuas para garantir a existência de raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os valores da função em dois pontos diferentes para ver como ela se comporta. Vamos começar com
e
.
- Para
:
- Para
:
Então, temos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos ver se a função é contínua nesse intervalo de
. Uma função é contínua se não tem “pulos” ou “buracos”. No caso, nossa função
é um polinômio, e sabemos que polinômios são contínuos em todo o seu domínio. Isso significa que entre quaisquer dois pontos, a função não faz saltos.
Passo 4
Com isso em mente, vamos aplicar o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema diz que se uma função é contínua em um intervalo
e os valores em
e
são de sinais opostos (um positivo e outro negativo), então existe pelo menos um ponto
em
onde
.
No nosso caso:
-
(negativo) -
(positivo)
Como os sinais são opostos e a função é contínua entre 0 e 1, pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos um
no intervalo
onde
.
Resposta
Então, concluímos que a função
tem pelo menos uma raiz no intervalo
.