(a) (10 pontos) Determine lim x 2^+ f(x) e lim x 2^- f(x)
(b) (15 pontos) Determine o valor (ou valores) de a e b para que f seja contínua em 2.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma função definida por partes, que muda suas expressões dependendo do valor de x. A pergunta pede para a gente encontrar os limites da função quando x se aproxima de 2 por valores maiores (2^+) e menores (2^-), e depois determinar os valores de a e b que fazem a função ser contínua em x=2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a). Precisamos encontrar lim x 2^+ f(x). Isso significa que vamos considerar valores de x que estão ficando cada vez mais próximos de 2, mas maiores que 2. Olhando para a definição da função, quando x > 2, a função é f(x) = a + b x. Então, o limite pela direita é:
lim x 2^+ f(x) = lim x 2^+ (a + b x) = a + b times 2 = a + 2b
Passo 3
Agora, vamos encontrar lim x 2^- f(x), que considera valores de x que estão chegando a 2, mas menores que 2. Conforme a definição da função, para x < 2, temos f(x) = -x + 2a. Então, o limite pela esquerda é:
lim x 2^- f(x) = lim x 2^- (-x + 2a) = -2 + 2a
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b). Queremos que a função seja contínua em x = 2. Isso significa que os limites pela direita e pela esquerda devem ser iguais e também iguais ao valor da função em x=2. A função em x=2 é f(2) = b. Então, temos as seguintes equações:
a + 2b = b (limitante pela direita igual a f(2))
-2 + 2a = b (limitante pela esquerda igual a f(2))
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações que obtivemos:
Da primeira equação:
a + 2b = b implies a = -b
Substituindo a = -b na segunda equação:
-2 + 2(-b) = b implies -2 - 2b = b implies -2 = 3b implies b = -23
Então, como a = -b:
a = -(-23) = 23
Resposta
(a) lim x 2^+ f(x) = a + 2b e lim x 2^- f(x) = -2 + 2a
(b) Para que f seja contínua em 2, os valores são a = 23 e b = -23.