Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
y^prime prime+2t y^prime+y=0
Escolha uma opção:
c raizt
Nenhuma das demais alternativas
craizt
c e^traizt
ct
c e^raizt

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que determinar a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
y^prime prime + 2t y^prime + y = 0
Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem e o conceito de Wronskiano. O Wronskiano nos ajuda a verificar se duas soluções são linearmente independentes. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral da equação diferencial que temos:
y^prime prime + p(t) y^prime + q(t) y = 0
Aqui, $ p(t) = \frac{2}{t} $ e $ q(t) = 1 $.

Passo 3

O próximo passo é lembrar que o Wronskiano, $ W(t) $, de duas soluções dessa equação satisfaz a seguinte equação diferencial:
W(t)
Substituindo $ p(t) $ na equação, temos:
W^prime + p(t) W = 0

Passo 4

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, usamos o método do fator integrante. O fator integrante, $ \mu(t) $, é dado por:
mu(t)

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
t^2 W^prime + t^2 cdot 2t W = t^2 cdot 0
Simplificando:
t^2 W^prime + 2t W = 0
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ t^{2} W $:
t^2 W

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
t
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para $ W $:
W
Então, o Wronskiano tem a forma $ \frac{C}{t^{2}} $.

Resposta

Nenhuma das demais alternativas

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