Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que determinar a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
Para isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem e o conceito de Wronskiano. O Wronskiano nos ajuda a verificar se duas soluções são linearmente independentes. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma geral da equação diferencial que temos:
Aqui, $ p(t) = \frac{2}{t} $ e $ q(t) = 1 $.
Passo 3
O próximo passo é lembrar que o Wronskiano, $ W(t) $, de duas soluções dessa equação satisfaz a seguinte equação diferencial:
Substituindo $ p(t) $ na equação, temos:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, usamos o método do fator integrante. O fator integrante, $ \mu(t) $, é dado por:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ t^{2} W $:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para $ W $:
Então, o Wronskiano tem a forma $ \frac{C}{t^{2}} $.
Resposta
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