Encontre uma fórmula para uma função f que satisfaça as seguintes condições:
ll lim x pm infty f(x)=0, & lim x 0 f(x)=-infty, f(2)=0, lim x 3^- f(x)=infty, & lim x 3^+ f(x)=-infty

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma função $ f(x) $ que atende a várias condições de limites em diferentes pontos. Estamos lidando com cálculo, especificamente com limites de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções se comportam perto de certos valores de $ x $ e no infinito. A gente vai construir passo a passo uma função que satisfaça todas essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os limites quando $ x $ vai para mais ou menos infinito:
x
Isso significa que, conforme $ x $ fica muito grande positivo ou muito grande negativo, a função se aproxima de 0. Uma função que tem esse comportamento é uma função racional onde o grau do numerador é menor que o do denominador. Por exemplo:
limx to pm infty f(x) = 0
Mas vamos guardar isso para mais tarde.

Passo 3

Agora, vejamos o comportamento próximo a $ x = 0 $:
x = 0
Isso indica que, quando $ x $ se aproxima de 0, a função desce sem limite, indo para menos infinito. Uma maneira comum de conseguir isso é ter uma divisão por $ x $, já que quando $ x $ vai para 0, $ \frac{1}{x} $ tende a infinito ou menos infinito dependendo do lado.

Passo 4

Temos também que $ f(2) = 0 $. Isso significa que, quando $ x = 2 $, a função deve ser igual a zero. Para que uma função racional seja zero em algum ponto, o numerador deve ser zero nesse ponto. Então, vamos garantir que o numerador tenha um fator $ (x - 2) $.

Passo 5

Por último, olhamos para o comportamento em torno de $ x = 3 $:
x = 3
Isso significa que, quando $ x $ se aproxima de 3 pela esquerda, a função vai para mais infinito, e pela direita, para menos infinito. Para conseguir isso, podemos ter um fator no denominador que seja $ (x - 3) $, pois isso vai criar uma assíntota vertical em $ x = 3 $.

Passo 6

Agora, juntando tudo o que vimos:
  • Queremos que $ f(x) $ tende a 0 no infinito, então o grau do numerador deve ser menor que o do denominador.
  • Para que $ f(2) = 0 $, precisamos de um fator $ (x - 2) $ no numerador.
  • Para ter as assíntotas em $ x = 0 $ e $ x = 3 $, precisamos de fatores $ x $ e $ (x - 3) $ no denominador.
Então, uma forma geral da função pode ser:
f(x)

Passo 7

Vamos verificar se essa função atende a todas as condições:
  1. Limite no infinito:
limx to pm infty x - 2x(x - 3) = limx to pm infty 1 - 2xx - 3 = 0
Confere!
  1. Limite em $ x = 0 $:
x = 0
Confere!
  1. Valor em $ x = 2 $:
limx to 0 x - 2x(x - 3) = -20^- times (-3) = -infty
Confere!
  1. Limites em $ x = 3 $:
  • Pela esquerda:
x = 2
  • Pela direita:
f(2) = 2 - 22(2 - 3) = 0
Confere!

Resposta

A função que satisfaz todas as condições é:
f(x) = x - 2x(x - 3)

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