Para cada item abaixo calcule a integral tripla.
\iiint_{S} 1-2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d V onde S=\left\{(x, y, z) \in R^{3}: z \geq 0\right. e \left.x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 9\right\}.

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado:
  • Pede-se calcular a integral tripla
\iiint_{S} 1-2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dV.
  • A região S é dada por
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\; z\ge 0\\ \text{e}\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9\}.
  • Informações relevantes que já temos do enunciado:
    • A desigualdade x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 9 descreve uma esfera de raio 3.
    • A condição z\ge 0 seleciona a metade superior dessa esfera (hemisfério superior).
    • O integrando é 1-2(x^{2}+y^{2}+z^{2}).

Passo 2

Escolha de coordenadas e definição das variáveis:
  • Para regiões esféricas (como um hemisfério) é muito conveniente usar coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta), definidas por:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
  • Significado das variáveis:
    • \rho\ge 0 é a distância do ponto à origem.
    • \varphi\in[0,\pi] é o ângulo entre o raio e o eixo z (ângulo polar).
    • \theta\in[0,2\pi) é o ângulo no plano xy (azimutal).
  • Jacobiano (fator de escala) das coordenadas esféricas:
dV=\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
  • Limites para a região S (hemisfério de raio 3 acima do plano z=0):
0\le \rho\le 3,\qquad 0\le \varphi\le \frac{\pi}{2},\qquad 0\le \theta\le 2\pi.

Passo 3

Expressar o integrando em coordenadas esféricas:
  • Observação útil: \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}.
  • Logo o integrando fica
1-2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=1-2\rho^{2}.
  • Multiplicando pelo Jacobiano,
\bigl(1-2\rho^{2}\bigr)\,dV=\bigl(1-2\rho^{2}\bigr)\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.

Passo 4

Montar a integral tripla em coordenadas esféricas:
\iiint_{S}1-2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{\rho=0}^{3}\bigl(1-2\rho^{2}\bigr)\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.

Passo 5

Separar variáveis e integrar nas coordenadas angulares:
  • A expressão integranda é produto de função de \rho por \sin\varphi, portanto a integral se separa:
\int_{0}^{2\pi}d\theta\;\cdot\;\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\, d\varphi\;\cdot\;\int_{0}^{3}\bigl(1-2\rho^{2}\bigr)\rho^{2}\, d\rho.
  • Calcular as integrais angulares:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi, \qquad \int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\, d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi/2}= -\cos\frac{\pi}{2} + \cos 0 = 0+1=1.
  • Então o fator angular total é 2\pi\cdot 1=2\pi.

Passo 6

Calcular a integral radial:
  • Primeiro simplificar o integrando radial:
\bigl(1-2\rho^{2}\bigr)\rho^{2}=\rho^{2}-2\rho^{4}.
  • Calcular a integral
\int_{0}^{3}\bigl(\rho^{2}-2\rho^{4}\bigr)\, d\rho = \left[\frac{\rho^{3}}{3}-2\cdot\frac{\rho^{5}}{5}\right]_{0}^{3}.
  • Avaliando em \rho=3:
\frac{3^{3}}{3}-2\cdot\frac{3^{5}}{5} = \frac{27}{3}-2\cdot\frac{243}{5} = 9-\frac{486}{5}.
  • Colocando em forma de fração com denominador 5:
9=\frac{45}{5},\qquad 9-\frac{486}{5}=\frac{45-486}{5}=\frac{-441}{5}.

Passo 7

Combinar o resultado radial com o fator angular:
  • Multiplicando o fator angular 2\pi pelo resultado radial \dfrac{-441}{5} obtemos
2\pi\cdot\frac{-441}{5}=\frac{-882\pi}{5}.
  • Esse é o valor final da integral (valor negativo porque o integrando médio na região é negativo).

Resposta

-\dfrac{882\pi}{5}

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