Para cada item abaixo calcule a integral tripla.
onde
e
.
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado:
- Pede-se calcular a integral tripla
- A região
é dada por
- Informações relevantes que já temos do enunciado:
- A desigualdade
descreve uma esfera de raio . - A condição
seleciona a metade superior dessa esfera (hemisfério superior). - O integrando é
.
- A desigualdade
Passo 2
Escolha de coordenadas e definição das variáveis:
- Para regiões esféricas (como um hemisfério) é muito conveniente usar coordenadas esféricas
, definidas por:
- Significado das variáveis:
-
é a distância do ponto à origem. -
é o ângulo entre o raio e o eixo (ângulo polar). -
é o ângulo no plano (azimutal).
-
- Jacobiano (fator de escala) das coordenadas esféricas:
- Limites para a região
(hemisfério de raio acima do plano ):
Passo 3
Expressar o integrando em coordenadas esféricas:
- Observação útil:
. - Logo o integrando fica
- Multiplicando pelo Jacobiano,
Passo 4
Montar a integral tripla em coordenadas esféricas:
Passo 5
Separar variáveis e integrar nas coordenadas angulares:
- A expressão integranda é produto de função de
por , portanto a integral se separa:
- Calcular as integrais angulares:
- Então o fator angular total é
.
Passo 6
Calcular a integral radial:
- Primeiro simplificar o integrando radial:
- Calcular a integral
- Avaliando em
:
- Colocando em forma de fração com denominador
:
Passo 7
Combinar o resultado radial com o fator angular:
- Multiplicando o fator angular
pelo resultado radial obtemos
- Esse é o valor final da integral (valor negativo porque o integrando médio na região é negativo).