Para cada item abaixo calcule a integral tripla.
\iiint_{E} 5 x^{2}+5 y^{2} d V onde E=\left\{(x, y, z) \in R^{3}: 0 \leq z \leq 5\right. e \left.x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\iiint_{E} 5 x^{2}+5 y^{2}\,dV
onde a região E é dada por
  • 0 \leq z \leq 5,
  • x^{2}+y^{2} \leq 4.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A região em (x,y) é um disco centrado na origem com raio 2 (pois x^{2}+y^{2}\leq 4).
  • A coordenada z varia de 0 a 5, ou seja, E é um cilindro reto de altura 5 e base o disco de raio 2.
  • O integrando é 5x^{2}+5y^{2}=5(x^{2}+y^{2}).

Passo 2

Escolha de coordenadas: como a região na base é um disco (circunferência) e o integrando envolve x^{2}+y^{2}, a opção natural e mais simples é usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z). Vou explicar isso devagarinho.
Definição das coordenadas cilíndricas:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,
onde r\ge 0 é a distância ao eixo z e \theta é o ângulo no plano xy.
Elementos importantes:
  • Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicação do r: ao mudar de (x,y) para (r,\theta) ocorre um fator de escala (Jaciano) igual a r, que corresponde ao alongamento das pequenas áreas quando se passa de retângulos dr\,d\theta para setores circulares.
  • Observação útil: x^{2}+y^{2}=r^{2}. Isso simplifica bastante o integrando.

Passo 3

Reescrever o integrando e o elemento de volume em cilíndricas.
O integrando 5x^{2}+5y^{2} vira
5(x^{2}+y^{2}) = 5 r^{2}.
Multiplicando pelo elemento de volume dV=r\,dr\,d\theta\,dz obtemos a função a integrar:
(5r^{2})\cdot r\,dr\,d\theta\,dz = 5 r^{3}\,dr\,d\theta\,dz.
Agora escrevo a integral tripla em coordenadas cilíndricas com os limites:
  • r varia de 0 a 2 (pois o disco tem raio 2),
  • \theta varia de 0 a 2\pi (cobertura completa do disco),
  • z varia de 0 a 5.
Logo
\iiint_{E} 5x^{2}+5y^{2}\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{z=0}^{5} 5 r^{3}\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Integração em z (a integral mais simples primeiro). A integranda 5r^{3} não depende de z, então
\int_{z=0}^{5} 5 r^{3}\,dz = 5 r^{3} \int_{0}^{5} dz = 5 r^{3}\cdot 5 = 25 r^{3}.
Portanto a integral tripla reduz-se a uma dupla:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} 25 r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integração em r. Calculo
\int_{0}^{2} 25 r^{3}\,dr = 25\int_{0}^{2} r^{3}\,dr = 25\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2}.
Agora avalio o termo:
\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{4}}{4}-0 = \frac{16}{4}=4.
Multiplicando por 25
25\cdot 4 = 100.
Então a integral dupla fica
\int_{0}^{2\pi} 100\,d\theta.

Passo 6

Integração em \theta:
\int_{0}^{2\pi} 100\,d\theta = 100\int_{0}^{2\pi} d\theta = 100\cdot(2\pi).
Deixarei a simplificação final na seção de resposta.

Resposta

200\pi

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