Para cada item abaixo calcule a integral tripla.
onde
e
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral tripla
onde a região
é dada por
-
, -
.
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A região em
é um disco centrado na origem com raio (pois ). - A coordenada
varia de a , ou seja, é um cilindro reto de altura e base o disco de raio . - O integrando é
.
Passo 2
Escolha de coordenadas: como a região na base é um disco (circunferência) e o integrando envolve
, a opção natural e mais simples é usar coordenadas cilíndricas
. Vou explicar isso devagarinho.
Definição das coordenadas cilíndricas:
onde
é a distância ao eixo
e
é o ângulo no plano
.
Elementos importantes:
- Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é
Explicação do
: ao mudar de
para
ocorre um fator de escala (Jaciano) igual a
, que corresponde ao alongamento das pequenas áreas quando se passa de retângulos
para setores circulares.
- Observação útil:
. Isso simplifica bastante o integrando.
Passo 3
Reescrever o integrando e o elemento de volume em cilíndricas.
O integrando
vira
Multiplicando pelo elemento de volume
obtemos a função a integrar:
Agora escrevo a integral tripla em coordenadas cilíndricas com os limites:
-
varia de a (pois o disco tem raio ), -
varia de a (cobertura completa do disco), -
varia de a .
Logo
Passo 4
Integração em
(a integral mais simples primeiro). A integranda
não depende de
, então
Portanto a integral tripla reduz-se a uma dupla:
Passo 5
Integração em
. Calculo
Agora avalio o termo:
Multiplicando por
dá
Então a integral dupla fica
Passo 6
Integração em
:
Deixarei a simplificação final na seção de resposta.