Determine \frac{d y}{d x}.
y=\left(x^{2}-1\right)^{6}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \dfrac{d y}{d x} para a função dada.
Informação fornecida:
y=\left(x^{2}-1\right)^{6}.

Passo 2

Ideia teórica que vamos usar (explicação didática, bem mastigada):
  • Quando uma função é composta, isto é, da forma y=f(g(x)), usa-se a regra da cadeia: \frac{dy}{dx}=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).Aqui f' é a derivada de f em relação ao seu argumento e g' é a derivada de g em relação a x.
  • No caso de uma potência simples u^{n} (onde u depende de x), a derivada em relação a x é \frac{d}{dx}\big(u^{n}\big)=n\,u^{\,n-1}\cdot\frac{du}{dx}.Nesta fórmula: n é um número (expoente), u é uma função de x e \dfrac{du}{dx} é a derivada de u.
Explicando em palavras: primeiro derivamos a parte externa (a potência) como se o argumento fosse uma variável u, e depois multiplicamos pela derivada do argumento interno u(x). Isso evita expandir a potência, que seria trabalho inútil na prova.

Passo 3

Identificar a função interna e a externa:
Defina
u(x)=x^{2}-1,
então
y=u^{6}.
Aplicando a regra da cadeia/potência:
\frac{dy}{dx}=6\,u^{5}\cdot\frac{du}{dx}.

Passo 4

Calcular a derivada de u(x):
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\big(x^{2}-1\big).
Usando a regra básica: \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x e \dfrac{d}{dx}(1)=0. Logo
\frac{du}{dx}=2x.

Passo 5

Substituir \dfrac{du}{dx} em \dfrac{dy}{dx} e simplificar:
\frac{dy}{dx}=6\,u^{5}\cdot 2x = 12x\,u^{5}.
Voltando a escrever u como x^{2}-1:
\frac{dy}{dx}=12x\,(x^{2}-1)^{5}.

Resposta

\frac{dy}{dx}=12x\,(x^{2}-1)^{5}

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