Determine \frac{d y}{d x}.
y=\sqrt{x^{3}+1}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle y=\sqrt{x^{3}+1} e pede para determinar \displaystyle \frac{dy}{dx}.
Informações fornecidas:
  • A função é \displaystyle y=\sqrt{x^{3}+1}.
  • A pergunta é: calcular a derivada de y em relação a x, ou seja \displaystyle \frac{dy}{dx}.

Passo 2

Uma forma mais conveniente de trabalhar com raízes é reescrever a raiz como potência. A raiz quadrada é a potência 1/2. Assim reescrevo a função:
y=(x^{3}+1)^{\tfrac{1}{2}}.
Reescrever assim facilita o uso da regra do poder (power rule) combinada com a regra da cadeia.

Passo 3

Vou explicar a regra da cadeia de maneira clara. Se tivermos uma função composta \displaystyle y=f(u) com u=g(x), então a derivada é
\frac{dy}{dx}=f'(u)\cdot\frac{du}{dx}.
Em palavras: deriva-se a função exterior f mantendo u, e multiplica-se pela derivada da função interior g. Exemplo simples para fixar: se y=(3x+2)^{2}, então por regra da cadeia
\frac{dy}{dx}=2(3x+2)\cdot 3 = 6(3x+2).
Percebe? “Deriva a parte de fora” (o expoente 2 vira 2(…)^{1}) e multiplica pela derivada da parte de dentro (aqui 3).

Passo 4

Agora aplico isso ao nosso caso. Tome a parte interior
u=x^{3}+1,
e a parte exterior
y=u^{\tfrac{1}{2}}.
Derivo cada uma:
  • Derivada da exterior em relação a u: usando a regra do poder,
\frac{d}{du}\big(u^{\tfrac{1}{2}}\big)=\tfrac{1}{2}u^{-\tfrac{1}{2}}.
Aqui a regra do poder diz que \dfrac{d}{du}u^{n}=n u^{n-1}; colocamos n=\tfrac{1}{2}.
  • Derivada da interior em relação a x:
\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\big(x^{3}+1\big)=3x^{2}.
Somando: pela regra da cadeia,
\frac{dy}{dx}=\left(\tfrac{1}{2}u^{-\tfrac{1}{2}}\right)\cdot(3x^{2}).

Passo 5

Agora substituo u=x^{3}+1 de volta e simplifico a expressão:
\frac{dy}{dx}=\tfrac{1}{2}\cdot 3x^{2}\cdot (x^{3}+1)^{-\tfrac{1}{2}} =\frac{3x^{2}}{2}\,(x^{3}+1)^{-\tfrac{1}{2}}.
Voltando da potência negativa para a raiz:
\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}+1}}.

Passo 6

Observações úteis para a prova (curtas e práticas):
  • Domínio da função original: \sqrt{x^{3}+1} exige x^{3}+1\ge 0, ou seja x\ge -1 (porque t\mapsto t^{3} é crescente). Portanto a derivada só faz sentido real para x\ge -1.
  • Em x=-1 temos \sqrt{x^{3}+1}=0 e a expressão da derivada tem denominador zero; como o numerador ali é 3x^{2}=3, a derivada não é finita em x=-1 (tensão vertical no gráfico). Para x>-1 a derivada é finita e positiva.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}}{2\sqrt{x^{3}+1}}

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