Determine
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
. - A pergunta é: calcular a derivada de
em relação a , ou seja .
Passo 2
Uma forma mais conveniente de trabalhar com raízes é reescrever a raiz como potência. A raiz quadrada é a potência
. Assim reescrevo a função:
Reescrever assim facilita o uso da regra do poder (power rule) combinada com a regra da cadeia.
Passo 3
Vou explicar a regra da cadeia de maneira clara. Se tivermos uma função composta
com
, então a derivada é
Em palavras: deriva-se a função exterior
mantendo
, e multiplica-se pela derivada da função interior
. Exemplo simples para fixar: se
, então por regra da cadeia
Percebe? “Deriva a parte de fora” (o expoente 2 vira 2(…)^{1}) e multiplica pela derivada da parte de dentro (aqui
).
Passo 4
Agora aplico isso ao nosso caso. Tome a parte interior
e a parte exterior
Derivo cada uma:
- Derivada da exterior em relação a
: usando a regra do poder,
Aqui a regra do poder diz que
; colocamos
.
- Derivada da interior em relação a
:
Somando: pela regra da cadeia,
Passo 5
Agora substituo
de volta e simplifico a expressão:
Voltando da potência negativa para a raiz:
Passo 6
Observações úteis para a prova (curtas e práticas):
- Domínio da função original:
exige , ou seja (porque é crescente). Portanto a derivada só faz sentido real para . - Em
temos e a expressão da derivada tem denominador zero; como o numerador ali é , a derivada não é finita em (tensão vertical no gráfico). Para a derivada é finita e positiva.