Determine \frac{d y}{d x}.
y=\frac{x \ln x}{x+1}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \dfrac{dy}{dx} para a função dada.
Informação fornecida pelo enunciado:
y=\frac{x\ln x}{x+1}.
Observação sobre domínio: a função envolve \ln x, logo está definida apenas para x>0. Não há necessidade de considerar x=-1 porque não pertence ao domínio por causa do \ln x.

Passo 2

Escolha do método: a função é uma fração \dfrac{u}{v}, então o método mais direto é a regra do quociente. Para aplicar essa regra precisarei das derivadas de u e v; como u=x\ln x é um produto, usarei a regra do produto para u'. Estas são as fórmulas que vou usar:
\text{(regra do quociente)}\quad \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2},
\text{(regra do produto)}\quad (fg)'=f'g+fg'.
Aqui u(x)=x\ln x e v(x)=x+1.

Passo 3

Identificar u e v:
u(x)=x\ln x,\qquad v(x)=x+1.

Passo 4

Calcular u'(x) usando a regra do produto. Primeiro lembrar a derivada de \ln x: para x>0,
\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x}.
Aplicando a regra do produto a u(x)=x\cdot\ln x:
u'(x)=\frac{d}{dx}(x)\cdot\ln x + x\cdot\frac{d}{dx}(\ln x).
Como \dfrac{d}{dx}(x)=1 e \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}, obtemos
u'(x)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x + 1.

Passo 5

Calcular v'(x). Como v(x)=x+1,
v'(x)=1.

Passo 6

Aplicar a regra do quociente substituindo u,u',v,v':
\frac{dy}{dx}=\frac{u'v-uv'}{v^2} =\frac{(\ln x + 1)(x+1)-x\ln x\cdot 1}{(x+1)^2}.

Passo 7

Desenvolver e simplificar o numerador passo a passo. Primeiro expandir (\ln x +1)(x+1):
(\ln x +1)(x+1)=x\ln x + \ln x + x + 1.
Subtraindo x\ln x (o termo uv') temos:
x\ln x + \ln x + x + 1 - x\ln x = \ln x + x + 1.
Portanto a derivada simplificada é
\frac{dy}{dx}=\frac{x+\ln x+1}{(x+1)^2}.

Passo 8

Resumo final e observação: a derivada foi obtida aplicando a regra do produto dentro da regra do quociente e simplificando termos semelhantes. Lembre que tudo vale para x>0 (domínio da função original).

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{x+\ln x+1}{(x+1)^2}

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