Determine
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A função é o produto de duas funções de
: e . - Quer-se a derivada de
em relação a : .
Passo 2
Identificar o método de diferenciação a usar.
Temos um produto de duas funções: isso sugere o uso da regra do produto. A regra do produto é a forma padrão para derivar uma função que é produto de duas funções dependentes de . Vou escrever a regra e explicar o que cada símbolo significa:
Temos um produto de duas funções: isso sugere o uso da regra do produto. A regra do produto é a forma padrão para derivar uma função que é produto de duas funções dependentes de
Aqui:
-
e são quaisquer funções de ; -
representa , a derivada de em relação a ; -
representa , a derivada de em relação a .
A regra diz: derive a primeira e multiplique pela segunda, depois some a primeira vezes a derivada da segunda.
Passo 3
Escolher
e
para aplicar a regra do produto. Uma escolha natural é:
Vou calcular
e
separadamente.
Passo 4
Derivar
.
Explicação: a derivada de
é
e a derivada de uma constante (
) é
.
Passo 5
Derivar
usando a regra da cadeia.
Regra da cadeia (em palavras): se , então
. Aqui
e
. Sabendo que
, temos:
Regra da cadeia (em palavras): se
Explicação dos símbolos:
-
é a derivada externa avaliada em , aqui ; -
é a derivada interna, aqui .
Passo 6
Aplicar a regra do produto com os resultados obtidos.
Usando
Usando
substituindo
:
Passo 7
Simplificar a expressão fatorando
:
Continuando a simplificação dentro do parêntese:
Portanto
Passo 8
Pequena verificação alternativa (opcional, serve para conferir): expandir
como
e derivar cada termo usando novamente regra do produto e regra da cadeia. O resultado chega à mesma expressão
, confirmando o cálculo.