Determine \frac{d y}{d x}.
y=(x+1) e^{2 x}

Passo 1

O enunciado dá a função y=(x+1)e^{2x} e pede para determinar \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes que temos:
  • A função é o produto de duas funções de x: x+1 e e^{2x}.
  • Quer-se a derivada de y em relação a x: \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Identificar o método de diferenciação a usar.
Temos um produto de duas funções: isso sugere o uso da regra do produto. A regra do produto é a forma padrão para derivar uma função que é produto de duas funções dependentes de x. Vou escrever a regra e explicar o que cada símbolo significa:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\,v(x)\bigr)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui:
  • u(x) e v(x) são quaisquer funções de x;
  • u'(x) representa \dfrac{du}{dx}, a derivada de u em relação a x;
  • v'(x) representa \dfrac{dv}{dx}, a derivada de v em relação a x.
    A regra diz: derive a primeira e multiplique pela segunda, depois some a primeira vezes a derivada da segunda.

Passo 3

Escolher u e v para aplicar a regra do produto. Uma escolha natural é:
u(x)=x+1,\qquad v(x)=e^{2x}.
Vou calcular u'(x) e v'(x) separadamente.

Passo 4

Derivar u(x).
u(x)=x+1 \quad\Rightarrow\quad u'(x)=\frac{d}{dx}(x+1)=1.
Explicação: a derivada de x é 1 e a derivada de uma constante ( 1) é 0.

Passo 5

Derivar v(x)=e^{2x} usando a regra da cadeia.
Regra da cadeia (em palavras): se v(x)=f(g(x)), então v'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x). Aqui f(t)=e^{t} e g(x)=2x. Sabendo que \dfrac{d}{dt}e^{t}=e^{t}, temos:
v'(x)=\frac{d}{dx}e^{2x}=e^{2x}\cdot\frac{d}{dx}(2x)=e^{2x}\cdot 2=2e^{2x}.
Explicação dos símbolos:
  • f'(g(x)) é a derivada externa avaliada em g(x), aqui e^{2x};
  • g'(x) é a derivada interna, aqui 2.

Passo 6

Aplicar a regra do produto com os resultados obtidos.
Usando
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x),
substituindo u,u',v,v':
\frac{dy}{dx}=1\cdot e^{2x}+(x+1)\cdot 2e^{2x}.

Passo 7

Simplificar a expressão fatorando e^{2x}:
\frac{dy}{dx}=e^{2x}+2(x+1)e^{2x}=e^{2x}\bigl(1+2(x+1)\bigr).
Continuando a simplificação dentro do parêntese:
1+2(x+1)=1+2x+2=2x+3.
Portanto
\frac{dy}{dx}=(2x+3)e^{2x}.

Passo 8

Pequena verificação alternativa (opcional, serve para conferir): expandir y como y=xe^{2x}+e^{2x} e derivar cada termo usando novamente regra do produto e regra da cadeia. O resultado chega à mesma expressão (2x+3)e^{2x}, confirmando o cálculo.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=(2x+3)e^{2x}

Exercícios relacionados