Determine \frac{d y}{d x}.
y=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se calcular \dfrac{d y}{d x}.
  • Foi dada a função
y=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}.
  • Observações sobre domínio (importante para derivadas): \sqrt{x} exige x\ge 0; além disso o denominador \sqrt{x}-1 não pode ser zero, logo x\neq 1. Portanto o domínio relevante é x>0 com x\neq 1.

Passo 2

Troca de variável para simplificar a expressão:
  • Definir \;u=\sqrt{x}=x^{1/2}\;. Isso é útil porque a função em y fica uma função racional simples de u.
  • Reescrevendo y em função de u:
y=\frac{u+1}{u-1}.

Passo 3

Derivada de y em relação a u usando a regra do quociente:
  • Regra do quociente (explicação): se v(u)=\dfrac{p(u)}{q(u)} com q(u)\neq0, então
v'(u)=\frac{p'(u)\,q(u)-p(u)\,q'(u)}{q(u)^2}.
Aqui p(u)=u+1 e q(u)=u-1. Calculando as derivadas:
p'(u)=1,\qquad q'(u)=1.
Aplicando a regra:
\frac{d y}{d u}=\frac{1\cdot(u-1)-(u+1)\cdot 1}{(u-1)^2}=\frac{u-1-u-1}{(u-1)^2}=\frac{-2}{(u-1)^2}.

Passo 4

Derivada de u em relação a x (regra da potência):
  • Regra da potência (explicação): se u(x)=x^{n} então u'(x)=n x^{n-1}. Para n=\tfrac12:
\frac{d u}{d x}=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para obter \dfrac{d y}{d x}:
  • Regra da cadeia (explicação): se y depende de u e u depende de x, então
\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u}\cdot\frac{d u}{d x}.
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
\frac{d y}{d x}=\left(\frac{-2}{(u-1)^2}\right)\cdot\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right).
Simplificando os fatores -2 e 2:
\frac{d y}{d x}=-\frac{1}{\sqrt{x}\,(u-1)^2}.
Agora substitui u=\sqrt{x} de volta:
\frac{d y}{d x}=-\frac{1}{\sqrt{x}\,(\sqrt{x}-1)^2}.

Passo 6

Forma alternativa (opcional) expressa só em x:
  • Expandindo (\sqrt{x}-1)^2 = x-2\sqrt{x}+1, tem-se também
\frac{d y}{d x}=-\frac{1}{\sqrt{x}\,\bigl(x-2\sqrt{x}+1\bigr)}.
Ambas as formas são equivalentes; a forma com (\sqrt{x}-1)^2 costuma ser mais limpa.

Resposta

\displaystyle \frac{d y}{d x}=-\frac{1}{\sqrt{x}\,(\sqrt{x}-1)^2}

Exercícios relacionados