Determine
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se calcular
. - Foi dada a função
- Observações sobre domínio (importante para derivadas):
exige ; além disso o denominador não pode ser zero, logo . Portanto o domínio relevante é com .
Passo 2
Troca de variável para simplificar a expressão:
- Definir
. Isso é útil porque a função em fica uma função racional simples de . - Reescrevendo
em função de :
Passo 3
Derivada de
em relação a
usando a regra do quociente:
- Regra do quociente (explicação): se
com , então
Aqui
e
. Calculando as derivadas:
Aplicando a regra:
Passo 4
Derivada de
em relação a
(regra da potência):
- Regra da potência (explicação): se
então . Para :
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para obter
:
- Regra da cadeia (explicação): se
depende de e depende de , então
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Simplificando os fatores
e
:
Agora substitui
de volta:
Passo 6
Forma alternativa (opcional) expressa só em
:
- Expandindo
, tem-se também
Ambas as formas são equivalentes; a forma com
costuma ser mais limpa.