Determine \frac{d z}{d t} \mathrm{e} \frac{d z}{d s}, onde:
z=\operatorname{arctg}(x-y), x=s t^{2}, y=t s^{2}.

Passo 1

O enunciado dá z=\arctan(x-y), x=s\,t^{2} e y=t\,s^{2}.
O conteúdo envolve derivadas parciais de funções compostas, usando a regra da cadeia. Vamos precisar de \partial x/\partial t, \partial y/\partial t e também de \partial x/\partial s, \partial y/\partial s.

Passo 2

Calculemos primeiro as derivadas de x e y em relação a t, tratando s como constante:
\frac{\partial x}{\partial t} =\frac{\partial}{\partial t}\bigl(s\,t^{2}\bigr) =2\,s\,t,
\frac{\partial y}{\partial t} =\frac{\partial}{\partial t}\bigl(t\,s^{2}\bigr) =s^{2}.

Passo 3

Pela regra da cadeia para \partial z/\partial t, temos
\frac{\partial z}{\partial t} =\frac{1}{1+(x-y)^{2}}\Bigl(\frac{\partial x}{\partial t}-\frac{\partial y}{\partial t}\Bigr).
Substituindo \partial x/\partial t e \partial y/\partial t:
\frac{\partial z}{\partial t} =\frac{1}{1+(x-y)^{2}}\bigl(2\,s\,t - s^{2}\bigr) =\frac{s\,(2t - s)}{1+(x-y)^{2}}.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de x e y em relação a s, tratando t como constante:
\frac{\partial x}{\partial s} =\frac{\partial}{\partial s}\bigl(s\,t^{2}\bigr) =t^{2},
\frac{\partial y}{\partial s} =\frac{\partial}{\partial s}\bigl(t\,s^{2}\bigr) =2\,t\,s.

Passo 5

Pela regra da cadeia para \partial z/\partial s, segue
\frac{\partial z}{\partial s} =\frac{1}{1+(x-y)^{2}}\Bigl(\frac{\partial x}{\partial s}-\frac{\partial y}{\partial s}\Bigr) =\frac{1}{1+(x-y)^{2}}\bigl(t^{2}-2\,t\,s\bigr) =\frac{t\,(t-2s)}{1+(x-y)^{2}}.

Passo 6

Para simplificar o denominador, note que
x-y = s\,t^{2} - t\,s^{2} = s\,t\,(t - s),
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(x-y)^{2} = s^{2}t^{2}(t - s)^{2}.
Portanto o denominador fica 1 + s^{2}t^{2}(t-s)^{2}.

Resposta

\frac{d z}{d t} =\frac{s\,(2t - s)}{1 + s^{2}t^{2}(t - s)^{2}}, \qquad \frac{d z}{d s} =\frac{t\,(t - 2s)}{1 + s^{2}t^{2}(t - s)^{2}}.

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