Determine \frac{d z}{d t} \mathrm{e} \frac{d z}{d s}, onde:
z=\ln \left(x^{2}+y^{2}+w^{2}\right), x=s \sqrt{t}, y=t \sqrt{s}, w=s^{2}+t^{2}.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
z = \ln\bigl(x^{2}+y^{2}+w^{2}\bigr)
com x = s\sqrt{t}, y = t\sqrt{s} e w = s^{2}+t^{2}.
O objetivo é calcular \frac{dz}{dt} e \frac{dz}{ds}.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, definimos
u = x^{2} + y^{2} + w^{2}
e usamos
\frac{dz}{dt} = \frac{1}{u}\,\frac{du}{dt}
e analogamente
\frac{dz}{ds} = \frac{1}{u}\,\frac{du}{ds}.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais de x, y e w em relação a t:
\frac{\partial x}{\partial t} = s\,\frac{1}{2\sqrt{t}} = \frac{s}{2\sqrt{t}},
\frac{\partial y}{\partial t} = \sqrt{s},
\frac{\partial w}{\partial t} = 2t.

Passo 4

Cálculo de \frac{du}{dt} = 2x\,\frac{\partial x}{\partial t} + 2y\,\frac{\partial y}{\partial t} + 2w\,\frac{\partial w}{\partial t}.
Substituindo e simplificando, obtemos
\frac{du}{dt} = s^{2} + 2\,s\,t + 4\,t\,w.

Passo 5

Logo,
\frac{dz}{dt} = \frac{s^{2} + 2\,s\,t + 4\,t\,w}{x^{2} + y^{2} + w^{2}}.

Passo 6

Cálculo das derivadas parciais de x, y e w em relação a s:
\frac{\partial x}{\partial s} = \sqrt{t},
\frac{\partial y}{\partial s} = t\,\frac{1}{2\sqrt{s}} = \frac{t}{2\sqrt{s}},
\frac{\partial w}{\partial s} = 2s.

Passo 7

Cálculo de \frac{du}{ds} = 2x\,\frac{\partial x}{\partial s} + 2y\,\frac{\partial y}{\partial s} + 2w\,\frac{\partial w}{\partial s}.
Após substituição e simplificação, achamos
\frac{du}{ds} = 2\,s\,t + t^{2} + 4\,s\,w.

Passo 8

Portanto,
\frac{dz}{ds} = \frac{2\,s\,t + t^{2} + 4\,s\,w}{x^{2} + y^{2} + w^{2}}.

Resposta

\frac{dz}{dt} = \frac{s^{2} + 2\,s\,t + 4\,t\,(s^{2}+t^{2})}{s^{2}t + s\,t^{2} + (s^{2}+t^{2})^{2}}
\frac{dz}{ds} = \frac{2\,s\,t + t^{2} + 4\,s\,(s^{2}+t^{2})}{s^{2}t + s\,t^{2} + (s^{2}+t^{2})^{2}}

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