Determine \frac{d z}{d t} \mathrm{e} \frac{d z}{d s}, onde:
z=x^{2} y+x y^{2}, x=2+t^{2} s^{2}, y=s-t.

Passo 1

O enunciado dá uma função de duas variáveis
z = x^{2}y + xy^{2}
cujo valor depende de
x = 2 + t^{2}s^{2}, \quad y = s - t.
Como queremos \tfrac{dz}{dt} e \tfrac{dz}{ds}, vamos usar a regra da cadeia para funções compostas, isto é,
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial t}, \quad \frac{dz}{ds} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial s}.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y.
Como
z = x^{2}y + xy^{2},
temos
\frac{\partial z}{\partial x} = 2xy + y^{2} = y\,(2x + y),
\frac{\partial z}{\partial y} = x^{2} + 2xy = x\,(x + 2y).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a t.
Como
x = 2 + t^{2}s^{2}, \quad y = s - t,
segue
\frac{\partial x}{\partial t} = 2t\,s^{2}, \quad \frac{\partial y}{\partial t} = -1.
Logo,
\frac{dz}{dt} = \bigl(y\,(2x+y)\bigr)\,(2t\,s^{2}) + \bigl(x\,(x+2y)\bigr)\,(-1).

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a s.
Temos
\frac{\partial x}{\partial s} = 2t^{2}s, \quad \frac{\partial y}{\partial s} = 1.
Logo,
\frac{dz}{ds} = \bigl(y\,(2x+y)\bigr)\,(2t^{2}s) + \bigl(x\,(x+2y)\bigr)\,(1).

Passo 5

Substituir x=2+t^{2}s^{2} e y=s-t nas expressões finais.
Definindo
z_{x}=y\,(2x+y), \quad z_{y}=x\,(x+2y),
com x=2+t^{2}s^{2} e y=s-t, obtemos
\frac{dz}{dt} =2t\,s^{2}\,(s-t)\bigl[2(2+t^{2}s^{2})+(s-t)\bigr] -\;(2+t^{2}s^{2})\bigl[(2+t^{2}s^{2})+2(s-t)\bigr],
\frac{dz}{ds} =2t^{2}s\,(s-t)\bigl[2(2+t^{2}s^{2})+(s-t)\bigr] +\;(2+t^{2}s^{2})\bigl[(2+t^{2}s^{2})+2(s-t)\bigr].

Resposta

\frac{dz}{dt} =2t\,s^{2}\,(s-t)\bigl[4+2t^{2}s^{2}+s-t\bigr] -\;(2+t^{2}s^{2})\bigl[\,2+t^{2}s^{2}+2s-2t\bigr],
\frac{dz}{ds} =2t^{2}s\,(s-t)\bigl[4+2t^{2}s^{2}+s-t\bigr] +\;(2+t^{2}s^{2})\bigl[\,2+t^{2}s^{2}+2s-2t\bigr].

Exercícios relacionados