Determine \frac{d z}{d t}, onde:
z=\operatorname{arctg}(x-y), x=t^{2}, y=1-2 t.

Passo 1

O enunciado pede \dfrac{d z}{d t} sabendo que
z = \operatorname{arctg}(x - y),\quad x = t^2,\quad y = 1 - 2t.
O conteúdo é aplicação da regra da cadeia em função composta e cálculo de derivadas de polinômios.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia em
z = \operatorname{arctg}(u)\quad\text{com}\;u = x - y,
sabemos que \dfrac{d}{du}\operatorname{arctg}(u)=\dfrac1{1+u^2}. Logo,
\frac{d z}{d t} = \frac{1}{1+(x-y)^2}\,\frac{d}{d t}(x-y).

Passo 3

Substituindo x e y em x - y, obtemos
x - y = t^2 - (1 - 2t) = t^2 + 2t - 1.

Passo 4

Derivando x - y = t^2 + 2t - 1 em relação a t,
\frac{d}{d t}(x-y) = \frac{d}{d t}(t^2 + 2t - 1) = 2t + 2 = 2(t+1).

Passo 5

Substituindo nos resultados anteriores,
\frac{d z}{d t} = \frac{1}{1+(t^2+2t-1)^2}\;\bigl[2(t+1)\bigr] = \frac{2(t+1)}{1 + \bigl(t^2 + 2t - 1\bigr)^2}.

Resposta

\frac{d z}{d t} = \frac{2(t+1)}{1 + \bigl(t^2 + 2t - 1\bigr)^2}.

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