Determine \frac{d z}{d t} \mathrm{e} \frac{d z}{d s}, onde:
z=u^{2} v+u v^{2}, u=2+x^{4}, v=1-x^{3}, x=t+s^{2}.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos
z = u^{2}v + uv^{2},\quad u = 2 + x^{4},\quad v = 1 - x^{3},\quad x = t + s^{2},
e queremos calcular \dfrac{dz}{dt} e \dfrac{dz}{ds} usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de z em relação a u e v:
\frac{\partial z}{\partial u} = 2u\,v + v^{2}, \qquad \frac{\partial z}{\partial v} = u^{2} + 2u\,v.

Passo 3

Em seguida, derivamos u e v em relação a x, e x em relação a t e s:
\frac{du}{dx} = 4x^{3}, \qquad \frac{dv}{dx} = -3x^{2},
\frac{dx}{dt} = 1, \qquad \frac{dx}{ds} = 2s.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia
\frac{dz}{dt} = \Bigl(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dx} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dx}\Bigr) \frac{dx}{dt}, \qquad \frac{dz}{ds} = \Bigl(\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dx} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dx}\Bigr) \frac{dx}{ds}.
Substituindo os resultados anteriores,
\frac{dz}{dt} = \bigl(2u\,v + v^{2}\bigr)\,4x^{3} + \bigl(u^{2} + 2u\,v\bigr)\,(-3x^{2}),
\frac{dz}{ds} = \Bigl[\bigl(2u\,v + v^{2}\bigr)\,4x^{3} + \bigl(u^{2} + 2u\,v\bigr)\,(-3x^{2})\Bigr]\,2s.

Resposta

\frac{dz}{dt} = 4x^{3}\bigl(2u\,v + v^{2}\bigr) - 3x^{2}\bigl(u^{2} + 2u\,v\bigr),
\frac{dz}{ds} = 2s\Bigl[4x^{3}\bigl(2u\,v + v^{2}\bigr) - 3x^{2}\bigl(u^{2} + 2u\,v\bigr)\Bigr],
com u = 2 + x^{4}, v = 1 - x^{3} e x = t + s^{2}.

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