(a) Determine a frequência de revolução de um elétron com uma energia de 100 eV em um campo magnético uniforme de módulo
. (b) Calcule o raio da trajetória do elétron se sua velocidade é perpendicular ao campo magnético.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar a frequência de revolução de um elétron que tem energia de
quando está em um campo magnético uniforme de módulo . - (b) Calcular o raio da trajetória desse elétron supondo que a sua velocidade é perpendicular ao campo magnético.
Informações dadas no enunciado:
Passo 2
Vamos reunir constantes e fazer as conversões necessárias. Aqui estão os valores que normalmente usamos para um elétron:
Conversão de energia de elétron-volts para joules:
portanto
Também convertemos o campo magnético para tesla:
Passo 3
Primeiro vamos achar a fórmula da frequência de revolução (frequência ciclotrônica). A ideia física: a força magnética (força de Lorentz) fornece a força centrípeta que faz o elétron girar numa órbita circular quando a velocidade é perpendicular ao campo. Escrevendo isso:
Igualando
obtemos
Cancelando uma
(assumindo
) e isolando
dá-se a relação entre
,
,
:
A velocidade angular
da rotação (rad/s) relaciona-se com
e
por
. Substituindo
na expressão de
:
A frequência em hertz é
, então chegamos à fórmula padrão da frequência ciclotrônica:
Aqui
é a frequência (Hz),
é o módulo da carga (C),
é o campo (T) e
é a massa (kg).
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula para calcular
com os valores numéricos. Substituindo os valores:
Fazendo as contas passo a passo:
Portanto a frequência de revolução é aproximadamente
(cerca de
).
Passo 5
Para calcular o raio precisamos da velocidade perpendicular
. Aqui o enunciado diz que a velocidade é perpendicular ao campo, então
. A velocidade do elétron é obtida a partir da energia cinética não-relativística:
Substituindo os valores (usamos
do Passo 2):
Então o elétron está indo a cerca de
. (Observação: isso é muito menor que
, então a aproximação não-relativística é válida.)
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula do raio que obtivemos no Passo 3:
Substituindo os valores:
Calculemos passo a passo:
Em unidades mais familiares,
.
Resposta
(a)
\n(b)