(a) Determine a frequência de revolução de um elétron com uma energia de 100 eV em um campo magnético uniforme de módulo 35,0 \mathrm{mT}. (b) Calcule o raio da trajetória do elétron se sua velocidade é perpendicular ao campo magnético.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Determinar a frequência de revolução de um elétron que tem energia de 100\\ \mathrm{eV} quando está em um campo magnético uniforme de módulo 35{,}0\\ \mathrm{mT}.
  2. (b) Calcular o raio da trajetória desse elétron supondo que a sua velocidade é perpendicular ao campo magnético.
Informações dadas no enunciado:
\text{Energia: } 100\\ \mathrm{eV}
\text{Campo magnético: } 35{,}0\\ \mathrm{mT}é

Passo 2

Vamos reunir constantes e fazer as conversões necessárias. Aqui estão os valores que normalmente usamos para um elétron:
\text{carga do elétron: } |q| = e = 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}é
\text{massa do elétron: } m = 9{,}109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}é
Conversão de energia de elétron-volts para joules:
1\\ \mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J},
portanto
K = 100\\ \mathrm{eV} = 100\times1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}=1{,}602\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.
Também convertemos o campo magnético para tesla:
B = 35{,}0\\ \mathrm{mT} = 35{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{T}=0{,}0350\\ \mathrm{T}.

Passo 3

Primeiro vamos achar a fórmula da frequência de revolução (frequência ciclotrônica). A ideia física: a força magnética (força de Lorentz) fornece a força centrípeta que faz o elétron girar numa órbita circular quando a velocidade é perpendicular ao campo. Escrevendo isso:
\text{Força magnética: } F_B = |q|vB.çé
\text{Força centrípeta: } F_c = m\frac{v^{2}}{r}.çí
Igualando F_B = F_c obtemos
|q|vB = m\frac{v^{2}}{r}.
Cancelando uma v (assumindo v\neq0) e isolando r dá-se a relação entre r, v, B:
r=\frac{mv}{|q|B}.
A velocidade angular \omega da rotação (rad/s) relaciona-se com v e r por \omega = v/r. Substituindo r na expressão de \omega:
\omega = \frac{v}{r} = \frac{v}{\dfrac{mv}{|q|B}} = \frac{|q|B}{m}.
A frequência em hertz é f=\dfrac{\omega}{2\pi}, então chegamos à fórmula padrão da frequência ciclotrônica:
\boxed{f=\frac{|q|B}{2\pi m}.}
Aqui f é a frequência (Hz), |q| é o módulo da carga (C), B é o campo (T) e m é a massa (kg).

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula para calcular f com os valores numéricos. Substituindo os valores:
f=\frac{(1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C})\,(0{,}0350\\ \mathrm{T})}{2\pi\,(9{,}109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg})}.
Fazendo as contas passo a passo:
\text{numerador} = 1{,}602\times10^{-19}\times0{,}0350 = 5{,}607\times10^{-21}.
\text{denominador} = 2\pi\times9{,}109\times10^{-31} \approx 5{,}724\times10^{-30}.
f \approx \frac{5{,}607\times10^{-21}}{5{,}724\times10^{-30}} \approx 9{,}79\times10^{8}\\ \mathrm{Hz}.
Portanto a frequência de revolução é aproximadamente 9{,}79\times10^{8}\\ \mathrm{Hz} (cerca de 979\\ \mathrm{MHz}).

Passo 5

Para calcular o raio precisamos da velocidade perpendicular v_\perp. Aqui o enunciado diz que a velocidade é perpendicular ao campo, então v_\perp=v. A velocidade do elétron é obtida a partir da energia cinética não-relativística:
K=\frac{1}{2}mv^{2}\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{2K}{m}}.
Substituindo os valores (usamos K=1{,}602\times10^{-17}\\ \mathrm{J} do Passo 2):
v=\sqrt{\frac{2\times1{,}602\times10^{-17}}{9{,}109\times10^{-31}}} =\sqrt{\frac{3{,}204\times10^{-17}}{9{,}109\times10^{-31}}} =\sqrt{3{,}5179\times10^{13}} \approx5{,}93\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
Então o elétron está indo a cerca de 5{,}93\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}. (Observação: isso é muito menor que c, então a aproximação não-relativística é válida.)

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula do raio que obtivemos no Passo 3:
r=\frac{mv}{|q|B}.
Substituindo os valores:
r=\frac{(9{,}109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg})\,(5{,}93\times10^{6}\\ \mathrm{m/s})}{(1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C})\,(0{,}0350\\ \mathrm{T})}.
Calculemos passo a passo:
\text{numerador} = 9{,}109\times10^{-31}\times5{,}93\times10^{6} \approx 5{,}401\times10^{-24}.
\text{denominador} = 1{,}602\times10^{-19}\times0{,}0350 = 5{,}607\times10^{-21}.
r \approx \frac{5{,}401\times10^{-24}}{5{,}607\times10^{-21}} \approx 9{,}63\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
Em unidades mais familiares, r\approx0{,}963\\ \mathrm{mm}.

Resposta

(a) f \approx 9{,}79\times10^{8}\\ \mathrm{Hz}\n(b) r \approx 9{,}63\times10^{-4}\\ \mathrm{m}

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