Um vetor campo elétrico dado por
(SI) está definido no vácuo na região
. Na região
, há um dielétrico de constante dielétrica 4,2 . Determine
e
, os quais são os ângulos formados pelos vetores campo elétrico e a interface, respectivamente, com o vácuo e com o dielétrico. Use a relação
, a qual é válida para interface entre dois meios isolantes.
Resp.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar
e
, os ângulos formados pelos vetores campo elétrico e a interface, respectivamente, no vácuo (região
) e no dielétrico (região
).
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
- Campo elétrico na região
(vácuo): (SI). - A interface é o plano
(logo a normal à interface é ). - Constante dielétrica do vácuo:
. - Constante dielétrica do dielétrico (região
): . - Relação dada válida na interface entre dois meios isolantes:
.
Passo 2
Entendendo o que é o ângulo pedido e como calculá-lo (aula rápida e prática).
- A interface é o plano
. O vetor normal a esse plano é (eixo ). - O enunciado define
como o ângulo entre o vetor e a interface (ou seja, o ângulo entre e o plano). Se um vetor é paralelo ao plano, esse ângulo vale ; se é perpendicular ao plano (na direção normal), o ângulo vale . - Para um vetor
cujas componentes são (normal) e (tangencial, magnitude da projeção no plano), vale a relação geométrica
onde
é a componente do campo na direção normal (
) e
é a magnitude da componente tangencial (no plano da interface).
Explicação intuitiva: a tangente do ângulo mede quanto do vetor “vai para cima” (normal) em relação ao que “vai ao longo do plano” (tangencial).
Explicação intuitiva: a tangente do ângulo mede quanto do vetor “vai para cima” (normal) em relação ao que “vai ao longo do plano” (tangencial).
Passo 3
Identificar as componentes do campo dado e calcular a componente tangencial.
- Das componentes de
temos , , . (Peguei esses valores diretamente do enunciado.) - A componente tangencial (magnitude) é
- Numericamente,
.
Passo 4
Calcular
(ângulo no vácuo) usando a definição de tangente.
- Usando
temos
- Então
- Arredondando razoavelmente para duas casas decimais:
.
Passo 5
Usar a condição da interface para encontrar
. (Aqui explico por que usar a relação dada.)
- Física por trás da relação
: nas interfaces entre dielétricos, a componente tangencial de é contínua e a componente normal de é contínua (na ausência de carga livre na interface). Isso leva à relação indicada entre as tangentes dos ângulos medidos em relação à interface. - Como
(vácuo) e , isolamos :
- Logo
arredondando:
.
Passo 6
Resumo final do cálculo (sem repetir explicações longas):
foi obtido a partir da relação geométrica entre componente normal e tangencial do campo no vácuo;
foi obtido resolvendo a relação de interface
. Os valores numéricos foram arredondados a duas casas decimais.