Um vetor campo elétrico dado por \vec{E}_{1}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k} (SI) está definido no vácuo na região x<0. Na região x>0, há um dielétrico de constante dielétrica 4,2 . Determine \theta_{1} e \theta_{2}, os quais são os ângulos formados pelos vetores campo elétrico e a interface, respectivamente, com o vácuo e com o dielétrico. Use a relação \kappa_{1} \tan \theta_{1}=\kappa_{2} \tan \theta_{2}, a qual é válida para interface entre dois meios isolantes.
Resp. \theta_{1}=32,31^{\circ}, \theta_{2}=8,56^{\circ}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar \theta_{1} e \theta_{2}, os ângulos formados pelos vetores campo elétrico e a interface, respectivamente, no vácuo (região x<0) e no dielétrico (região x>0).
Dados fornecidos:
  • Campo elétrico na região x<0 (vácuo): \vec{E}_{1}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k} (SI).
  • A interface é o plano x=0 (logo a normal à interface é \hat{i}).
  • Constante dielétrica do vácuo: \kappa_{1}=1.
  • Constante dielétrica do dielétrico (região x>0): \kappa_{2}=4,2.
  • Relação dada válida na interface entre dois meios isolantes: \kappa_{1}\tan\theta_{1}=\kappa_{2}\tan\theta_{2}.

Passo 2

Entendendo o que é o ângulo pedido e como calculá-lo (aula rápida e prática).
  • A interface é o plano x=0. O vetor normal a esse plano é \hat{i} (eixo x).
  • O enunciado define \theta como o ângulo entre o vetor \vec{E} e a interface (ou seja, o ângulo entre \vec{E} e o plano). Se um vetor é paralelo ao plano, esse ângulo vale 0^\circ; se é perpendicular ao plano (na direção normal), o ângulo vale 90^\circ.
  • Para um vetor \vec{E} cujas componentes são E_x (normal) e E_t (tangencial, magnitude da projeção no plano), vale a relação geométrica
\tan\theta=\frac{E_x}{E_t},
onde E_x é a componente do campo na direção normal ( \hat{i}) e E_t=\sqrt{E_y^{2}+E_z^{2}} é a magnitude da componente tangencial (no plano da interface).
Explicação intuitiva: a tangente do ângulo mede quanto do vetor “vai para cima” (normal) em relação ao que “vai ao longo do plano” (tangencial).

Passo 3

Identificar as componentes do campo dado e calcular a componente tangencial.
  • Das componentes de \vec{E}_{1} temos E_{1x}=2, E_{1y}=-3, E_{1z}=1. (Peguei esses valores diretamente do enunciado.)
  • A componente tangencial (magnitude) é
E_{1t}=\sqrt{E_{1y}^{2}+E_{1z}^{2}}=\sqrt{(-3)^{2}+1^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}.
  • Numericamente, \sqrt{10}\approx 3,1623.

Passo 4

Calcular \theta_{1} (ângulo no vácuo) usando a definição de tangente.
  • Usando \tan\theta_{1}=\dfrac{E_{1x}}{E_{1t}} temos
\tan\theta_{1}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{10}}\approx 0,6324555.
  • Então
\theta_{1}=\arctan\!\big(0,6324555\big)\approx 32,3099^\circ.
  • Arredondando razoavelmente para duas casas decimais: \theta_{1}\approx 32,31^\circ.

Passo 5

Usar a condição da interface para encontrar \theta_{2}. (Aqui explico por que usar a relação dada.)
  • Física por trás da relação \kappa_{1}\tan\theta_{1}=\kappa_{2}\tan\theta_{2}: nas interfaces entre dielétricos, a componente tangencial de \vec{E} é contínua e a componente normal de \vec{D}=\epsilon\vec{E} é contínua (na ausência de carga livre na interface). Isso leva à relação indicada entre as tangentes dos ângulos medidos em relação à interface.
  • Como \kappa_{1}=1 (vácuo) e \kappa_{2}=4,2, isolamos \tan\theta_{2}:
\tan\theta_{2}=\frac{\kappa_{1}}{\kappa_{2}}\tan\theta_{1}=\frac{1}{4,2}\cdot 0,6324555\approx 0,1505856.
  • Logo
\theta_{2}=\arctan\!\big(0,1505856\big)\approx 8,558^\circ,
arredondando: \theta_{2}\approx 8,56^\circ.

Passo 6

Resumo final do cálculo (sem repetir explicações longas): \theta_{1} foi obtido a partir da relação geométrica entre componente normal e tangencial do campo no vácuo; \theta_{2} foi obtido resolvendo a relação de interface \kappa_{1}\tan\theta_{1}=\kappa_{2}\tan\theta_{2}. Os valores numéricos foram arredondados a duas casas decimais.

Resposta

\theta_{1}=32,31^\circ
\theta_{2}=8,56^\circ

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