Determine se a função é contínua em x=0 para a s seguintes funções:
F(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{1-\operatorname{Cos}(4 x)}{\operatorname{Sen}(5 x)}, & \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, & \text { se } x=0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado define
F(x)= \begin{cases} \dfrac{1-\cos(4x)}{\sin(5x)},&x\neq0,\\[6pt] 0,&x=0, \end{cases}
e pede para verificar se F é contínua em x=0. Para isso, precisamos calcular
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(4x)}{\sin(5x)}
e comparar esse limite com F(0)=0.]

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
1-\cos(4x)=2\sin^2(2x),
logo para x\neq0
\frac{1-\cos(4x)}{\sin(5x)} =\frac{2\sin^2(2x)}{\sin(5x)}.

Passo 3

Perto de zero vale \sin(u)\approx u. Assim
\sin(2x)\sim 2x, \quad \sin(5x)\sim 5x,
e então
\lim_{x\to0}\frac{2\sin^2(2x)}{\sin(5x)} =2\lim_{x\to0}\frac{(2x)^2}{5x} =2\cdot\frac{4}{5}\lim_{x\to0}x =0.

Passo 4

Como
\lim_{x\to0}F(x)=0=F(0),
concluímos que F é contínua em x=0.

Resposta

A função F é contínua em x=0.

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