Determine se a função é contínua em x=0 para a s seguintes funções: F(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{1-\operatorname{Cos}(4 x)}{\operatorname{Sen}(5 x)}, & \text { se } x \neq 0 \\\\ 0, & \text { se } x=0\end{aligned}\right. Passo 1O enunciado define F(x)= \begin{cases} \dfrac{1-\cos(4x)}{\sin(5x)},&x\neq0,\\[6pt] 0,&x=0, \end{cases} e pede para verificar se F é contínua em x=0. Para isso, precisamos calcular \lim_{x\to0}\frac{1-\cos(4x)}{\sin(5x)} e comparar esse limite com F(0)=0.] Passo 2Usamos a identidade trigonométrica 1-\cos(4x)=2\sin^2(2x), logo para x\neq0 \frac{1-\cos(4x)}{\sin(5x)} =\frac{2\sin^2(2x)}{\sin(5x)}. Passo 3Perto de zero vale \sin(u)\approx u. Assim \sin(2x)\sim 2x, \quad \sin(5x)\sim 5x, e então \lim_{x\to0}\frac{2\sin^2(2x)}{\sin(5x)} =2\lim_{x\to0}\frac{(2x)^2}{5x} =2\cdot\frac{4}{5}\lim_{x\to0}x =0. Passo 4Como \lim_{x\to0}F(x)=0=F(0), concluímos que F é contínua em x=0. RespostaA função F é contínua em x=0. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine o conjunto de pontos onde a função dada é contínua para: f(x)=\frac{\ln \left(x^{2}-x-20\right)}{\sqrt{49-x^{2}}} Determine o conjunto de pontos onde a função dada é contínua para: f(x)=\frac{\ln \left(x^{2}+x-6\right)}{\sqrt{16-x^{2}}} Determine se a função é contínua em x=0 para a s seguintes funções: M(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{x^{2}}{1-\operatorname{Cos}(x)}, & \text { se } x \neq 0 \\\\ 2, & \text { se } x=0\end{aligned}\right. Determine se a função é contínua em x=0 para a s seguintes funções: M(x)=\left\{\begin{aligned} \frac{x^{2}}{1-\operatorname{Cos}(x)}, & \text { se } x \neq 0 \\\\ 2, & \text { se } x=0\end{aligned}\right.