Determine a função corrente para o escoamento especificado por u=4 y e v=-4 x, em que x e y estào em metros e u e v \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}. Esboce a plotagem das linhas de corrente pelos pontos (0,0) e (1,1) e determine a vazào entre duas linhas de corrente.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades em duas dimensões
u=4\,y,\quad v=-4\,x
e pede a função corrente \psi(x,y), o esboço das linhas de corrente pelos pontos (0,0) e (1,1) e a vazão entre essas duas linhas. Para resolver, vamos usar a relação entre (u,v) e a função corrente em escoamento incompressível bidimensional:
u = \frac{\partial \psi}{\partial y},\quad v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}.

Passo 2

Integramos \displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial y}=4\,y em relação a y, tratando x como constante:
\psi(x,y)=\int 4\,y\,dy = 2\,y^{2} + f(x),
onde f(x) é uma função arbitrária de x.

Passo 3

Agora usamos \displaystyle v=-4\,x e a definição
v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}
para determinar f(x). Como
-\frac{\partial \psi}{\partial x} = -\bigl(f'(x)\bigr) \stackrel{!}{=} -4\,x
temos f'(x)=4\,x. Integrando em x:
f(x)=\int 4\,x\,dx = 2\,x^{2} + C_{0},
com C_{0} constante arbitrária.

Passo 4

Substituindo f(x) na expressão de \psi, obtemos a função corrente geral
\psi(x,y)=2\,x^{2}+2\,y^{2}+C_{0}.
Podemos escolher C_{0}=0 pois linhas de corrente são dadas por \psi=\text{constante}.

Passo 5

As linhas de corrente satisfazem
\psi(x,y)=2\,(x^{2}+y^{2})=k,
ou seja círculos de centro na origem e raio \sqrt{k/2}.
Pelo ponto (0,0) tem k=0 (linha degenerada no ponto).
Pelo ponto (1,1) tem
k=2\bigl(1^{2}+1^{2}\bigr)=4,
logo a linha de corrente é o círculo
x^{2}+y^{2}=2.

Passo 6

No esboço, as linhas de corrente são círculos concêntricos; aquela por (1,1) tem raio \sqrt{2}. O sentido do escoamento é horário (verificando vetores em pontos representativos).

Passo 7

A vazão volumétrica entre duas linhas de corrente \psi=\psi_{1} e \psi=\psi_{2} vale
Q = \bigl|\psi_{2}-\psi_{1}\bigr|.
Aqui \psi_{2}=4 (linha em x^{2}+y^{2}=2) e \psi_{1}=0 (linha em (0,0)), logo
Q = 4\quad(\text{m}^2/\text{s},\text{ por unidade de profundidade}).

Resposta

\displaystyle \psi(x,y)=2\,(x^{2}+y^{2}).
As linhas de corrente são círculos de raio \sqrt{k/2}; por (1,1), x^{2}+y^{2}=2.
A vazão entre as linhas que passam por (0,0) e (1,1) é Q=4 m²/s por unidade de profundidade.

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