Um campo de velocidade é dado por: V=2 \hat{\imath}-4 x \hat{\jmath}[\mathrm{~m} / \mathrm{s}]. Determine uma equação para a linha de corrente. Calcule a vorticidade do escoamento.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidade
\mathbf{V}(x,y)=2\,\hat{\imath}-4x\,\hat{\jmath}
e pede (a) uma equação para as linhas de corrente e (b) a vorticidade do escoamento. Para as linhas de corrente usamos a relação
\frac{dy}{dx}=\frac{v}{u}
e para a vorticidade calculamos o rotacional \nabla\times\mathbf{V}.

Passo 2

Identificamos as componentes do campo:
u=2,\quad v=-4x.
Logo a equação diferencial das linhas de corrente é
\frac{dy}{dx}=\frac{-4x}{2}=-2x.

Passo 3

Integramos a equação separável
dy=-2x\,dx
para obter
y=-x^2+C,
onde C é constante de integração, que define cada linha de corrente.

Passo 4

Para a vorticidade em 2D (apenas componente z) usamos
\omega_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}.
Aqui
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial(-4x)}{\partial x}=-4, \quad \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial(2)}{\partial y}=0,
portanto
\omega_z=-4.

Resposta

A equação das linhas de corrente é
y + x^2 = C,
e a vorticidade do escoamento é
\boldsymbol{\omega} = -4\,\hat{k}.

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